1

Задачи без ограничений. Признаки экстремума

Функция одной переменной. Пусть необходимо найти экстремум дважды непрерывно дифференцируемой функции , где - вещественная переменная, .

Определение 1. Точка называется стационарной для функции , если производная функции в этой точке обращается в нуль, .

Теорема 1. (Необходимый признак). Для того чтобы функция имела в точке экстремум, необходимо, чтобы эта точка была стационарной.

Доказательство. Предположим, что - точка локального максимума, тогда для любого, достаточно малого приращения справедливо неравенство

Если , то приращения аргумента и функции имеют разные знаки, поэтому

Если , то приращения аргумента и функции имеют один знак, поэтому

Поскольку предполагается, что целевая функция непрерывна в точке , правый и левый пределы должны совпадать. Но это в данном случае значит, что

Аналогичные рассуждения можно сделать, исходя из предположения, что - точка локального минимума.

Теорема доказана.

Теорема 2. (Достаточный признак). Пусть - стационарная точка функции . Тогда если то - точка локального максимума; если то - точка локального минимума.

Доказательство. Разложим функцию в стационарной точке в ряд Тейлора:

где - бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем .

Поскольку то

Если то независимо от знака приращения выполняется соотношение . Но это значит, что - точка максимума. Аналогично можно доказать эту теорему для случая .

Теорема доказана.

Замечание 1.. Если вторая производная обращается в нуль, то статус стационарной точки остается неопределенным. Необходимо рассматривать производные более высоких порядков. Пусть производные всех порядков до -го оказались равны нулю, а . Тогда если - четное число и , то имеем локальный максимум, если , то минимум. Если же - нечетное число, то экстремума нет.

Функция многих переменных. Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция векторного аргумента , где .

Теорема 3. (Необходимый признак). Для того чтобы функция имела в точке экстремум, необходимо, чтобы все ее частные производные в этой точке обращались в нуль:

Доказательство. Зафиксируем все переменные кроме , положив, что для всех . Рассмотрим функцию . Если - экстремальная точка функции , то

Распространяя этот результат на остальные переменные, приходим к выводу о справедливости утверждения теоремы.

Замечание 2. Из необходимого условия вполне очевидно следует равенство нулю дифференциала функции в точке :

Справедливо и обратное утверждение. В силу произвольности дифференциал функции равен нулю только в том случае, если частные производные равны нулю.

После того, как стационарная точка найдена, необходимо определить является ли она экстремальной, и если является, то какой именно - точкой минимума или точкой максимума. Для ответа на этот вопрос нужно исследовать поведение функции в окрестности .

Разложим функцию в ряд Тейлора:

где - некоторая норма вектора приращения, например, длина.

Поскольку , то

Вторые производные сведем в матрицу, которая называется матрицей Гессе:

Как видим, характер стационарной точки по аналогии с одномерным случаем зависит от знакоопределенности квадратичной формы

где .

Определение 2. Квадратичная форма и соответствующая ей матрица Гессе называются положительно определенными в точке , если для любого

и отрицательно определенными, если

Теорема 4. (Достаточный признак). Для того чтобы дважды непрерывно дифференцируемая функция имела в стационарной точке локальный минимум (максимум) достаточно, чтобы матрица ее вторых производных в этой точке была положительно (отрицательно) определенной.

Критерий Сильвестра. Необходимым и достаточным условием положительной определенности матрицы является выполнение условий:

, , … , ,

т.е. необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры этой матрицы были положительны. Необходимым и достаточным условием отрицательной определенности матрицы является выполнение условий:

, , … , ,