Интервалы монотонности

и экстремумы функции

Многие законы природы и экономики можно описать с помощью функций. Знание этих функций помогает изучить интервалы их возрастания или убывания, точки, в которых они достигают наибольшего или наименьшего значения.

Пусть функция непрерывна на интервале и имеет производную для каждого значения в этом интервале.

Теорема. Если производная функции положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то функция монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке.

Определение. Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такой интервал, содержащий точку х₀, что для всех х из этого интервала имеют место неравенства , .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Для того чтобы функция имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю () или не существовала.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если в точке х₀ функция непрерывна, а производная при переходе через точку х₀ меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Если при переходе через точку х₀ производная не меняет свой
знак, то в этой точке экстремума нет.

Схема исследования функции на экстремум:

1) найти производную ;

2) найти критические точки функции, в которых производная или не существует;

3) исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции;

4) найти экстремальные значения функции.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если в точке х₀ , а , то х₀ является точкой максимума функции. Если , а , то х₀ является точкой минимума функции.

При исследовании функции на экстремум с помощью второго достаточного условия в п. 3 необходимо найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке. Действия в п. 1, 2, 4 сохраняются.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b] следует пользоваться следующей схемой:

1) найти производную ;

2) найти критические точки функции, в которых производная или не существует;

3) найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее f_наиб и наименьшее f_наим.

Если непрерывная на интервале функция имеет единственную точку экстремума, то наибольшее (наименьшее) значение функции достигается в этой точке.