Непрерывность и точки разрыва функции

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Область определения функции интервал .

На полуинтервалах и данная функция непрерывна, так как на каждом из них обе формулы, которыми она задана, представляют собой элементарные непрерывные функции. Точкой разрыва может быть лишь точка .

Найдем односторонние пределы:

;

;

;

.

Функция непрерывна в точке .

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение. Функция определена на всем множестве действительных чисел, за исключением точки , является точкой разрыва.

Найдем односторонние пределы в этой точке:

;

.

Точка - точка разрыва первого рода. Скачок функции в этой точке равен .

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение. Функция не определена в одной точке .

Найдем односторонние пределы функции в точке :

;

.

Тогда является точкой устранимого разрыва.

Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение. Функция непрерывна на .

;

.

Следовательно, точка является точкой разрыва второго рода.