Задача на условный экстремум.

Метод множителей Лагранжа

Пусть и , — дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции векторного аргумента . Требуется найти экстремум функции при условии, что аргумент удовлетворяет системе ограничений:

,

(последнее условие называют также условием связи).

Наиболее простым методом нахождения условного экстремума является сведение задачи к нахождению безусловного экстремума путем разрешения уравнения связи относительно s переменных и последующей их подстановки в целевую функцию.

В более сложных случаях выразить переменные удается не всегда. Соответственно, описанный выше подход применим не ко всем задачам. Более универсальным методом решения задач отыскания условного экстремума является метод множителей Лагранжа. Он основан на применении следующей теоремы. Если точка является точкой экстремума функции в области, определяемой уравнениями , , то (при некоторых дополнительных условиях) существует такой s-мерный вектор , что точка является стационарной точкой функции

.

Алгоритм метода множителей Лагранжа

1. Составить функцию Лагранжа:

,

где — множитель Лагранжа, соответствующий i-му ограничению.

2. Найти частные производные функции Лагранжа и приравнять их к нулю

3. Решив получившуюся систему из n + s уравнений, найти стационарные точки.

Заметим, что в стационарных точках выполняется необходимое, но не достаточное условие экстремума функции. Анализ стационарной точки на наличие в ней экстремума в данном случае достаточно сложен. Поэтому метод множителей Лагранжа в основном используют в тех случаях, когда о существовании минимума или максимума исследуемой функции заранее известно из геометрических или содержательных соображений.

При решении некоторых экономических задач множители Лагранжа имеют определенное смысловое содержание. Так, если — прибыль предприятия при плане производства n товаров , — издержки i-го ресурса, то — оценка этого ресурса, характеризующая скорость изменения оптимума целевой функции в зависимости от изменения i-го ресурса.