Таблица основных

неопределенных интегралов

Теорема 1. Пусть функция u=φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Функция у = f (x) имеет первообразную F(x) на множестве Х и

ò f(x) dx = F(x) + с.

Тогда

ò f(u) du = F(u) + с.

Доказательство. Пусть u = φ (x) - некоторая непрерывная функция.

(F(u))' = (F(φ(x)))' = f(φ(x)) φ'(x),

F(u) является первообразной для функции f(φ(x)) φ'(x) .

ò f(u) du = ò f(φ(x))d φ(x) = ò f(φ(x)) φ'(x)dx =F(u) + с.

Из теоремы следует, что в любом табличном интеграле можно заменить аргумент дифференцируемой функцией.

1. n ¹ -1; n ¹ -1;

2. = ln½x½ + с, = ln½u½ + с;

3.

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. .

Эти формулы легко доказываются дифференцированием правой части.