Геометрический смысл производной

 

Определение 1. Касательной к плоской кривой называется предельное положение секущей, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к первой точке.

Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна на (a,b), . Дадим приращение аргументу Dх так, что точка х0+Dх. Функция получит приращение Dу=f(x0+Dx)-f(x0).

Проведем секущую к графику через точки А(х0 , f(x0)),   В(x0+Dx, f(x0+Dx)).

 

                        Y

 

 

 

             f(x0+Dx)                                B                y=f(x)

 

      Dy

       f(x0)       A        a             C

 

 

 

                    a        j              Dx

        a   x0              x0+Dx        b             X

 

 

Рассмотрим DABC.  ,   .

При

,

секущая стремится к касательной,

,

,

.

Переходя к пределу при   в равенстве  , получим

.

 

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в данной точке.