Свойства функций, непрерывных на множестве

Теорема 1. Сумма и произведение конечного числа непрерывных на некотором множестве функций есть функция, непрерывная на этом множестве.

Доказательство (следует из основных теорем о пределах).

Пусть f(x) и g(x) – непрерывны в точке х₀ , тогда

, ,

.

Следовательно, функция y=f(x)+g(x) непрерывна в точке х₀.

Доказательство для произведения функций проводится аналогично.

Теорема 2. Частное от деления двух непрерывных на множестве функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.