Производная по направлению

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x, y). Под направлением мы будем понимать любой вектор на плоскости.

Определение 1. Направляющими косинусами данного направления называются косинусы углов, которые данное направление образуют с положительными направлениями осей координат. Направляющие косинусы данного направления -.

Направляющие косинусы любого направления в любом пространстве обладают следующим свойством: сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

На плоскости имеем

Если рассмотреть вектор , координатами которого являются направляющие косинусы данного направления, то этот вектор сонаправлен с вектором и имеет единичную длину.

Пусть даны точка и направление . Переместим точку М₀ вдоль направления на величину Dl в точку М₁. Тогда функция и аргумент получат соответствующие приращения.

Пример 12

Функция получит приращение, которое называется приращением функции в данном направлении: ,

Из треугольника М₀М₁А: .

Из треугольника М₀М₁В: .

Определение 2. Предел отношения приращения функции в данном направлении к приращению направления, когда приращение направления стремится к нулю, называется производной функции в данном направлении (если этот предел существует и конечен);

Если направление совпадает с направлением оси ОХ, то производная по направлению совпадает с частной производной по переменной х. Аналогично производная по направлению оси ОУ совпадает с частной производной по переменной у.

Теорема. Производная по направлению равна сумме попарных произведений частных производных в данной точке на направляющие косинусы данного направления.