Несобственные интегралы

1. Интегралы с бесконечными пределами. Определение определенного интеграла было дано в предположении, что областью интегрирования является конечный отрезок . Если же предположить, что область интегрирования бесконечна, например является интервалом , то даже для непрерывной функции обычное определение интеграла становится некорректным.

В данном случае нельзя говорить об интегральных суммах, так как при любом разбиении интервала на конечное число частей одна из этих частей является бесконечной. Обобщим понятие определенного интеграла на случай бесконечной области интегрирования.

Рассмотрим функцию , непрерывную на бесконечном интервале . Для любого конечного отрезка интеграл существует. Если интеграл стремится к конечному пределу при неограниченном возрастании , то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от функции и обозначается символом .

Таким образом:

.

В данном случае говорят, что несобственный интеграл существует, или сходится.

Если указанный предел не существует (в частности, если он бесконечен), то говорят, что несобственный интеграл не существует, или расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей:

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой

,

где - любая фиксированная точка оси .

Таким образом, интеграл существует только тогда, когда существует каждый из интегралов и .

2. Интегралы от неограниченных (разрывных) функций. В определении определенного интеграла предполагалось, что функция ограничена на отрезке . Следовательно, данное определение определенного интеграла неприменимо для неограниченной на отрезке функции. Однако и в этом случае можно обобщить понятие интеграла. Введем понятие несобственного интеграла от неограниченной функции на отрезке . Пусть функция определена и непрерывна на за исключением конечного числа особых точек, вблизи которых функция является неограниченной. Предположим, что функция является неограниченной на конце отрезка в точке , т.е. в интервале , где , тогда полагают:

.

Если существует конечный предел, то несобственный интеграл существует, или сходится, в противном случае не существует, или расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл, когда функция является неограниченной в интервале :

.

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке отрезка и непрерывна при и , то несобственный интеграл функции в пределах от до определяется так:

.

несобственный интеграл называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует или равен хотя бы один их них.