Понятие производной функции

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке X. Возьмем точку . Дадим аргументу x приращение так, чтобы . Тогда функция получит приращение .

Определение. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Производную функции обозначают также , . Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция имеет в точке конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Необходимым условием дифференцируемости функции в точке является ее непрерывность в этой точке.

В геометрическом смысле производная функции в данной точке представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

.

Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю: .

2. Производная аргумента равна единице: .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения первого множителя на производную второго:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

().

Производные основных элементарных функций

Функция	Производная	Функция	Производная
C	0

Дифференцирование сложных функций

Если функции и дифференцируемы по своим аргументам, то производная сложной функции существует и равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: .

Производные сложных функций вида можно найти по формулам

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

;