Непрерывность и точки разрыва функции

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и . Это означает:

.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этом множестве.

Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых знаменатель не равен нулю.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки . Точка называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняется условие непрерывности. Это возможно в случаях: 1) если не определена в точке ;
2) функция определена в точке , но не существует предел или, если он существует, но .

Если в точке разрыва существуют и конечны оба односторонних предела и , то называется точкой разрыва первого рода функции , а разность

- скачком функции в точке .

Точку разрыва первого рода, в которой , называют точкой устранимого разрыва.

Если хотя бы один из пределов или не существует или не конечен, то называется точкой разрыва второго рода.

Исследовать функцию на непрерывность - это значит установить промежутки непрерывности, найти точки разрыва и классифицировать их.