Отыскание экстремумов функций

Определение. Говорят, что функция , непрерывная в некотором промежутке , имеет в точке максимум (минимум), если существует проколотая окрестность точки , в которой выполняется неравенство .

Значения функции в точке максимума (минимума) функции называются, соответственно, максимумом и минимумом функции. Максимумы и минимумы объединяют общим названием экстремумов функции. На рисунке функция имеет максимум в точке и минимум в точке :

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, имея в виду, что он характеризует поведение функции лишь в достаточно малой окрестности точки .

Функция может иметь несколько экстремумов в одном промежутке, в отличие от так называемых глобального максимума и глобального минимума, т.е. наибольшего и наименьшего значений функции на всем промежутке.

Необходимое условие существования экстремума выявляется следующим рассуждением: если дифференцируемая функция в точке имеет экстремум, то в некоторой окрестности точки она удовлетворяет условиям теоремы Ферма и, следовательно, в этой точке производная равна нулю, т.е. .

Заметим, что функция может иметь экстремумы и в точках, в которых она не дифференцируема. Например, функция имеет минимум в точке , но не дифференцируема в этой точке.

А функция имеет максимум в точке , а ее производная в этой точке бесконечна: , при , .

Теперь необходимое условие существования экстремума будет выглядеть так: если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке ее производная равняется нулю или не существует.

Точки, принадлежащие области определения, в которых выполняется необходимое условие существования экстремума, принято называть критическими точками функции.

Однако необходимое условие существования экстремума не является достаточным.

Например, для функции точка является критической, так как ее производная обращается в нуль в этой точке, но в этой точке она не имеет экстремума.

Поэтому нужны достаточные условия существования экстремума.

Первое достаточное условие существования экстремума дается следующей теоремой. Пусть функция дифференцируема, по крайней мере, в проколотой окрестности критической точки и ее производная сохраняет знак в каждой из полуокрестностей. Тогда: 1) если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума; 2) если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума; 3) если при переходе через точку производная не меняет знака, то в точке нет экстремума.

Утверждение становится понятным, если учесть достаточное условие монотонности функции. Так, например, в случае 1) функция возрастает в левой полуокрестности и ее значения меньше и убывает в правой и ее значения здесь также меньше , т.е. - максимум функции. Аналогичная ситуация в случае 2). Если же имеет место случай 3), то функция либо возрастает, либо убывает во всей окрестности точки и не является точкой экстремума.

На основании первого достаточного условия экстремума можно составить план исследования функции на экстремум:

1. Найти область определения функции , если она не указана.

2. Найти производную .

3. Найти критические точки функции.

4. Выяснить знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии (или отсутствии) экстремумов функции.

5. Вычислить экстремальные значения.

Заметим, что практически удобно соединять исследование функции на монотонность с исследованием ее на экстремум. При этом результаты вычислений можно оформить в виде таблицы.

Пример 1. Исследуйте на экстремум и монотонность функцию

Решение.

1. Функция определена в интервале .

2. .

3. существует в и обращается в нуль в точках .

4. В интервале функция убывает; в интервале функция возрастает; в интервале функция убывает. Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума. При переходе же через точку производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому - точка максимума функции.

5. Вычисляем , .

Составим таблицу.


-	+	-

Второе достаточное условие существования экстремума дается следующей теоремой. Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна (отрицательна), то есть точка минимума (максимума) функции .

Смысл теоремы в том, что знак второй производной позволяет судить о монотонности первой производной, о смене ее знака при переходе через точку и, следовательно, о наличии экстремума.

Заметим, что второе правило исследования функции на экстремум отличается от первого правила только пунктом 4, устанавливающим наличие экстремума: здесь следует найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Пример 2. Найдите экстремумы функции .

Решение.

1. Область определения функции интервал .

2. .

3. существует в и обращается в нуль в точке .

4. Находим

и вычисляем . Следовательно, точка - точка максимума функции.

5. Вычисляем .