Производственная функция Кобба - Дугласа

Определение 1. Производственная функция Кобба - Дугласа устанавливает зависимость величины созданного общественного продукта от совокупных затрат живого труда и суммарного объема применяемых производственных фондов . Она имеет следующий вид:

, (1)

где - коэффициент, учитывающий влияние факторов, не вошедших в это уравнение, их конкретные числовые значения определяются на основе статистических данных с помощью корреляционных методов, соблюдаются условия .

Хотя каждый из коэффициентов меньше 1, их сумма может быть меньше, равна или больше 1. Эта сумма показывает эффект одновременного пропорционального увеличения объема как ресурсов труда, так и производственных фондов.

Обозначим и увеличим количество затрачиваемых ресурсов в раз.

где - новое значение объема производства.

Если =1, то увеличение ресурсов в m раз приводит к увеличению объема производства также в m раз. Экономически это отвечает предположению, что удвоение числа предприятий какой-либо отрасли приводит к удвоению выпускаемой отраслью продукции.

Если , то увеличение ресурсов опережает увеличение выпуска, т.е. имеем отрицательный эффект расширения производства.

Если , то увеличение выпуска опережает увеличение роста ресурсов. Можно говорить о положительном эффекте расширения производства.

Каждый из ресурсов характеризуется средней и предельной величиной. Разделив обе части уравнения на , мы получаем среднюю производительность труда:

. (2)

Средняя производительность труда показывает, сколько единиц выпускаемой продукции приходится на единицу затрачиваемого труда.

Поскольку коэффициент больше 0 и меньше 1, показатель степени -1 является отрицательной величиной, следовательно, с увеличением затрат труда средняя производительность труда снижается. Однако в реальном производстве дополнительно привлекаемая рабочая сила обеспечивается и дополнительными средствами производства, т. е. производительность труда снижается с ростом трудовых затрат при прочих равных условиях.

В анализе производственных функций наряду со средними показателями существенную роль играют предельные величины.

Определение 3. Предельная производительность труда показывает, сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица затраченного труда.

.

Продифференцируем второй раз

. (3)

Так как , а все остальные множители в правой части (9.3) положительны, то

.

Вторая производная отрицательна, следовательно, предельная производительность с ростом уменьшается.

Сравнивая формулы (2) и (3), получаем

. (4)

Поскольку 0 < < 1, можно сделать вывод, что для производственной функции Кобба - Дугласа предельная производительность труда всегда ниже средней производительности.

Наряду с вычислением абсолютного прироста продукции на единицу прироста затрат можно определить показатель, характеризующий относительный прирост объема производства на единицу относительного увеличения ресурсов труда. Пользуясь выражением (4), получаем:

.

Полученный показатель называется эластичностью выпуска продукции по затратам труда.

Определение 4. Эластичность выпуска показывает, на сколько процентов увеличивается выпуск при увеличении затрат труда на 1%. Предельная производительность от объемов ресурсов не зависит, и при любом их сочетании увеличение трудовых затрат на 1% приводит к росту объема производства на %.

Аналогичные показатели можно рассчитать по отношению ко второму фактору функции (1) - производственным фондам. Объем продукции в расчете на единицу используемых производственных фондов называется фондоотдачей. Можно рассчитать среднюю и предельную фондоотдачу. Из формулы (1) получаем

.

Показатель предельной фондоотдачи определяется как частная производная выпуска продукции по объему фондов:

.

Предельная фондоотдача отличается от средней лишь сомножителем . Поскольку положительный коэффициент меньше единицы, предельная фондоотдача в производственной функции (1) всегда ниже средней.

Относительная предельная фондоотдача, или эластичность выпуска продукции по объему производственных фондов, определяется выражением

.

Как и по отношению к затратам труда, эластичность выпуска по фондам есть величина постоянная, равная коэффициенту регрессии .

Производственная функция позволяет рассчитать потребность в одном из ресурсов при заданных объеме производства и величине другого ресурса. Из уравнения (1) следует, что потребность в ресурсах труда равна

. (5)

Если заданы ресурсы труда и объем продукции, то потребность в производственных фондах составляет

.

До сих пор определялись показатели, каждый из которых относился к одному из ресурсов. Производственная функция позволяет исследовать и вопросы соотношения, замещения, взаимодействия ресурсов. В частности, в экономике при изучении взаимодействия трудовых ресурсов и производственных фондов определяется важный показатель - фондовооруженность труда. Для функции вида (9.1) фондовооруженность труда представляет собой, очевидно, отношение переменных x₂ и x₁. Разделив выражение

на и произведя несложные преобразования, получим

. (6)

Взаимодействующие в рамках производственной функции ресурсы могут в известном смысле замещать друг друга. Это означает, что единицу одного ресурса можно заменить некоторым количеством другого ресурса так, что объем продукции при этом останется прежним. Скажем, при определенной структуре производства добавление 1 чел.-ч труда дает такой же прирост продукции, как и увеличение на 2 р. производственных фондов. На основе производственной функции можно рассчитать предельную норму замещения ресурсов. Так, предельная норма замещения затрат труда производственными фондами для функции вида (1) равна:

(7)

.

Знак минус показывает, что с увеличением одного ресурса объем второго ресурса должен быть снижаем.

Левая часть выражения (7) по абсолютной величине равняется частному от деления предельной производительности труда на предельную фондоотдачу. Это и понятно: если предельный продукт в расчете на единицу одного фактора, скажем, вдвое больше предельного продукта на единицу другого фактора, то и предельная норма замещения первого фактора вторым равна 2. Знак минус в выражении означает, что при фиксированном объеме производства увеличение одного ресурса соответствует уменьшению другого, и наоборот.

Как видим, предельная норма замещения ресурсов для функции (1) зависит не только от параметров функции (коэффициентов и ), но и от соотношения объемов ресурсов. Чем выше фондовооруженность труда, тем выше и норма замещения затрат живого труда производственными фондами. Очевидно, что если фондовооруженность труда возрастет, скажем, в 1,5 раза, то в 1,5 раза увеличится и предельная норма замещения. Это обстоятельство находит свое выражение в особом показателе, который называется эластичностью замещения ресурсов и определяется в данном случае как отношение относительных приращений фондовооруженности труда и предельной нормы замещения ресурсов. Обозначив

,

получим выражение для эластичности замещения ресурсов:

.

Эластичность замещения ресурсов для функции вида (1) постоянна и равна единице (вывод здесь опущен); это вполне согласуется с анализом выражения (7): изменению фондовооруженности труда на 1% соответствует изменение предельной нормы замещения тоже на 1%.

Пример. Дана производственная функция , где y - объем товарной продукции в стоимостном выражении, х₁ - фонд заработной платы, х₂ - стоимость основных фондов. Произошло изменение величин используемых ресурсов: фонд заработной платы уменьшился на 3%, стоимость основных фондов возросла на 2%. На сколько процентов при этом изменится:

1) объем товарной продукции,

2) производительность труда,

3) фондоотдача.

1) Определим изменение объема товарной продукции в процентном выражении. Прологарифмируем производственную функцию:

.

Продифференцируем данное равенство:

.

Величины и выражают процентные изменения переменных х₁ и х₂, они соответственно равны -0,03 и 0,02. Величина будет выражать соответствующее процентное изменение переменной у:

.

Следовательно, объем товарной продукции не изменился.

Найдем изменение объема товарной продукции в процентном выражении вторым способом. Исходное значение объема товарной продукции в стоимостном выражении было равно , и это составляло 100%. По условию, значение х₁ уменьшилось на 3%, т.е. стало 0,97 х₁, а значение х₂ увеличилось на 2%, т.е. стало 1,02х₂. Тогда Найдем, сколько процентов составляет у_н по отношению к у_исх:

у_исх - 100%

у_н - А %

.

Так как А = 100 %, то объем товарной продукции не изменился.

2) Производительность труда является отношением объема товарной продукции к фонду заработной платы: . Она была равна , и это составляло 100%. При изменении х₁ и х₂ новая производительность труда будет равна . Составим пропорцию

отсюда

.

Так как В = 103%, то произошло повышение производительности труда на

103% - 100% = 3%.

3) Фондоотдача является отношением объема товарной продукции к стоимости основных фондов: . Она была равна , и это составляло 100%. При изменении х₁ и х₂ новая производительность труда будет равна . Составим пропорцию

отсюда

.

Так как С = 98%, то произошло уменьшение фондоотдачи на

100% - 98% = 2%.