Динамические модели.

Магистральная модель Дж. фон Неймана

 

Рассмотренные выше модели МОБ были статическими, т. е. относились к какому-то одному периоду времени. Динамическая модель отражает развитие экономической системы во времени и отличается от статической следующими чертами:

- содержит соотношения, определяющие зависимость последующих состояний от предыдущих;

- предусматривает дифференциацию конечного продукта каждого периода на две составляющие - непроизводственное потребление и накопление (инвестиции).

Существуют различные типы динамических моделей. Все они довольно сложны и различаются в основном по способу описания взаимосвязи инвестиций с динамикой объемов производства.

Особую группу составляют магистральные модели. Они позволяют рассчитывать оптимальные траектории экономического роста (магистрали). Критерии оптимальности, а также предпосылки и допущения, при которых формулируются модели, могут быть разными.

Рассмотрим магистральную модель равновесного роста, предложенную американским математиком Дж. фон Нейманом. Она называется равновесной потому, что моделирует процесс развития экономики в предположении, что пропорции потребления и инвестиций постоянны.

Будем рассматривать развитие экономической системы в дискретном времени (по годам).

Для года можно записать:

,                                     (1)

где  - вектор валового производства;

- соответствующий конечный продукт;

- вектор инвестиций;

- вектор потребления (выбытием основ­ных фондов пренебрегаем).

Пусть известен вектор , определяющий сложившуюся структуру потребления. Будем считать его постоянным. Тогда

,                                (2)

где - суммарный конечный продукт.

Для определения  можно воспользоваться тем, что суммарный конеч­ный продукт равен суммарной условно-чистой продукции:

                                           (3)

где  - вектор относительной условно-чистой продукции. Его компоненты определяются по уже известной нам формуле

Объединяя формулы (2) и (3), получим соотношение, выражающее потребление как функцию валового производства:

                                (4)

где .

Рассмотрим теперь, какова связь между валовым производством и инвестициями. Очевидно, что инвестиционный спрос зависит от желаемого прироста валового производства:

                                          (5)

где К - матрица коэффициентов капиталоемкости (приростной фондоемкости).

Она характеризует капитальные затраты, необходимые для наращивания производственного потенциала отраслей. Коэффициент  этой матри­цы показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо для того, чтобы за счет наращивания фондов обеспечить единичный прирост производства в  j-й отрасли.

Как было сказано выше, в модели предполагается стабильный, равно­весный рост. Если темп роста обозначить через , то

Из этого следует, что

Итак, мы выразили две составляющие конечного продукта через вало­вое производство. Подставляя (4) и (5) в формулу (1), получаем

                                             (6)

Заметим, что в этой модели индекс времени не играет никакой роли. Так получилось потому, что модель сформулирована в предположении, что ситуация в каждом следующем году структурно повторяет ситуацию преды­дущего года.

Опуская индекс времени и осуществляя простейшие преобразования, из соотношения (6) получаем

Если предположить, что в матрице приростной фондоемкости отсутст­вуют нулевые строки (в общем случае это условие не выполняется, посколь­ку не все отрасли производят средства производства), то, умножив обе части последнего соотношения на K-1, получаем

где

Таким образом, расчет параметров равновесного роста сводится к опре­делению собственных значений и собственных векторов матрицы . В на­шем случае множество собственных значений есть множество возможных темпов роста. Очевидно, нас интересует наибольший темп. Поэтому здесь необходимо решить не общую, а так называемую частную задачу, т. е. найти наибольшее собственное значение и соответствующий ему вектор X.

Как известно, собственные векторы находятся с точностью до постоян­ного множителя. Можно так подобрать этот множитель, что сумма компо­нентов вектора Х будет равна 1. В этом случае мы получим магистраль фон Неймана - пропорции валового производства, при которых обеспечивается сложившаяся структура потребления и достигается наибольший ежегодный экономический рост.

Модель фон Неймана формулируется при жестких условиях и предположениях, поэтому представляет собой сугубо абстрактное построение. Тем не менее она имеет важное значение, поскольку дает теоретическое обоснова­ние того, что одним из условий интенсивного, устойчивого развития эко­номики является оптимизация пропорций валового производства.