Модель Леонтьева. Коэффициенты прямых

и полных материальных затрат

 

Рассмотренная таблица МОБ всего лишь форма представления статистической информации о взаимосвязи отраслей. Перейдем теперь к построе­нию математической модели. Для этого введем понятие коэффициентов прямых материальных затрат:

                                  (1)

Коэффициент aij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.

Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффици­енты прямых затрат являются величинами безразмерными. Кроме того, из (1) следует, что

                                 (2)

Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными, запишем систему балансовых соотношений

следующим образом:

Перенося yi в правую часть, а xi в левую и меняя знаки на противопо­ложные, получаем

В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим обра­зом:

X - AX = Y  или  (E - A) X = Y,

где Е - единичная матрица n-го порядка;

 - матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Итак, мы получили систему уравнений межотраслевого баланса, кото­рую называют моделью Леонтьева. Используя эту модель, можно ответить на основной вопрос межотраслевого анализа - каким должно быть валовое производство каждой отрасли для того, чтобы экономическая система в целом произвела заданное количество конечной продукции?

Следует отметить одно важное свойство матрицы А - сумма элементов любого ее столбца меньше единицы:

                                 (3)

Для доказательства разделим обе части балансового соотношения

на хj и, выполнив простейшие преобразования, полу­чим

где vj / xj= - доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.

Очевидно, что >0, так как в процессе производства не может не создавать­ся новой стоимости. Из этого следует справедливость соотношения (3).

Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицатель­ном Y система

X - AX = Y  или  (E - A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэф­фициент bij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом виде

Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А2+...+Аk+...                                             (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточно точного приближения, зависит от матрицы А, но в любом случае приемлемый результат достигается при k³ 30.

Формула (4) имеет строгое математическое доказательство. Но мы ограничимся тем, что попытаемся осмыслить ее, рассматривая Х как результат некоторого гипотетического процесса последовательного уточне­ния промежуточной продукции, необходимой для создания заданного конечного продукта.

Итак, вектор конечной продукции, которую должна произвести эконо­мическая система, равен Y. Будем считать, что это и есть первоначальное задание отраслям, т. е. Х0 =Y. Для выполнения собственного задания каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчитали потребности и подали заявки в некоторый центр, то оказалось бы, что суммарная потребность составляет X1 =АХ0=АY. Вектор X1 можно рассматривать как промежуточную продукцию, необходимую для производства Х0. Но под обеспечение производства X1 тоже нужна проме­жуточная продукция: X2 =АХ1 =А2Y. Рассуждая так и далее, мы приходим к выводу, что

Х=Х0+Х1+Х2+...+Хk+... = Y+АY+А2Y+...+AkY+... =

= (е+а+а2+…+аk+...)Y.

Полные затраты можно разложить на прямую и косвенную составля­ющие. Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта, а косвенные А2+А3+…+Аk+... относятся к предшествую­щим стадиям производства. Они осуществляются не прямо, а через посред­ство других ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементы матрицы А2 представляют собой косвенные затраты первого порядка, элементы матрицы А3 - косвенные затраты второго порядка и т. д.

Пример 1. Рассматривается трехотраслевой МОБ. Известна матрица коэффициен­тов прямых материальных затрат и задан вектор конечного продукта:

.

Определить валовое производство X, обеспечивающее заданный конеч­ный продукт.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо составить и решить систему линейных уравнений (Е-А)Х = Y.

Получим соответствующую систему уравнений

Решим систему методом Крамера. Если определитель системы  отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где  - определитель, который получается из  заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

 

   

Применяя формулы Крамера, получаем решение системы:

  

Пример 2. Вычислить изменение межотраслевых потоков, если известна матрица коэффициентов полных материальных затрат и задан вектор изменения ко­нечного продукта:

Изменение межотраслевых потоков вычисляется по формулам

Вектор изменения валового производства определяется следующим образом:

Кроме того, нам необходимо знать матрицу А. Из формулы В=(Е-А)-1 следует, что

Теперь, отвечая на поставленный вопрос, получаем:

 

 и т.д.