ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Пример 1. Пусть некоторое производство можно описать с помощью функции Кобба - Дугласа. В настоящее время один работник производит в месяц продукции на 1 млн. руб. Общая численность работников 1000 чел. Основные фонды оцениваются в 10 млрд. руб. Известно, что для увеличения выпуска продукции на 3% следует увеличить или стоимость фондов на 6%, или численность работников на 9%.

1. Составить для данного предприятия производственную функцию, определив коэффициенты эластичности.

2. Определить среднюю и предельную производительность труда.

3. Определить среднюю и предельную фондоотдачу.

4. Найти нормы замещения ресурсов, предельные нормы замещения ресурсов.

5. Определить численность работников, если стоимость основных фондов увеличить в 100 раз, уменьшить в 100 раз.

Решение. Производственная функция Кобба - Дугласа имеет вид

,

где х₁ - затраченный труд; х₂ - капитал.

Найдем коэффициенты эластичности.

По условию х₁= 1000 чел., х₂=10¹⁰ руб.

Тогда у = х₁ · 1 000 000= 10⁹ (руб) - объем продукции в стоимостном выражении.

Перепишем функцию Кобба - Дугласа в относительных приращениях:

,

где Dу/у - прирост объема продукции;

Dх₁/х₁ - прирост трудовых ресурсов;

Dх₂/х₂ - прирост фондов.

Нам известно, что для увеличения выпуска продукции на 3% (Dу/у = 3%) следует увеличить стоимость фондов на 6% (Dх₂/х₂ = 6%), т.е. 0,03=α₁·0 + α₂ ·0,06,

либо численность работников увеличить на 9% (Dх₁/х₁ =9%), т.е.

0,03 = α₁ ·0,09 + α ₂ ·0.

Тогда коэффициенты эластичности:

α ₂= 1/2, α ₁=1/3,

α ₁ + α ₂ = 1/3 +1/2 =5/6 .

Теперь производственная функция имеет вид:

.

.

Итак, производственная функция имеет вид: .

Определим среднюю и предельную производительность труда:

= =10⁶ - средняя производительность труда;

=· 10⁶ = 333333- предельная производительность труда.

3. Определим среднюю и предельную фондоотдачу:

=10⁹ / 10¹⁰ = 0,1 - средняя фондоотдача;

=· 0,1 = 0,05 - предельная фондоотдача.

4. Найдем нормы замещения ресурсов.

h₁= х₂/ х₁ = 10¹⁰ / 10³ = 10⁷ - норма замещения первого ресурса вторым.

h₂=х₁/ х₂=10³/10¹⁰=10^-7 - норма замещения второго ресурса первым.

2/3 · 10⁷=6666666- предельная норма замещения первого ресурса вторым.

R₂₁=1/R₁₂= 3/2·10^-7 = 0,00000015 - предельная норма замещения второго ресурса первым.

Определим численность работников, необходимую для сохранения объема выпуска продукции, если стоимость основных средств увеличить в 100 раз; уменьшить в 100 раз.

а) Увеличение в 100 раз.

х_{2 увел} =100 х₂= 10¹²;

чел.

б) Уменьшение в 100 раз.

х_{2 умен} = х₂ /100=10⁸.

чел.

Пример 2. Дана производственная функция , где y - объем товарной продукции в стоимостном выражении, х₁ - фонд заработной платы, х₂ - стоимость основных фондов. Произошло изменение используемых ресурсов: фонд заработной платы уменьшился на 3%, стоимость основных фондов возросла на 2%. На сколько процентов при этом изменятся:

1) объем товарной продукции;

2) производительность труда;

3) фондоотдача.

Решение. Решим задачу двумя способами.

Первый способ. Производственная функция имеет вид: , и это есть 100%. По условию, х₁ уменьшилось на 3%, т.е. стало 0,97х₁, а х₂ на 2% увеличилось, т.е. стало 1,02х₂. Тогда новое значение производственной функции:

Узнаем, сколько процентов составляет у_н по отношению к у:

у - 100%; у_н - Z %.

Таким образом, объем продукции практически не изменился.

Производительность труда

.

При изменении х₁ и х₂ новая производительность труда будет

Пусть прежнее значение производительности труда составляет 100%. Тогда новое значение

Так как Z = 103%, то произошло увеличение производительности труда на 3%.

Фондоотдача

.

Так как х₁ и х₂ изменились, то новая фондоотдача составит:

Составим пропорцию

; .

т.е. фондоотдача уменьшилась на 100% - 98% = 2%.

Второй способ. Прологарифмируем производственную функцию:

.

Продифференцируем полученное равенство

.

Тогда

.

Величины выражают относительные приращения величин х₁ и х₂ и в нашем примере они соответственно равны -0,03 и 0,02. Тогда изменение объема товарной продукции

.

Следовательно, объем товарной продукции не изменился.

Производительность труда определяется равенством

.

Логарифмируя это равенство, получим

;

.

Таким образом, производительность труда возросла на 3%.

Фондоотдача выражается формулой

.

Логарифмируя это равенство, получим

,

.

Следовательно, фондоотдача снизилась на 2%.