Ортогональные системы векторов

Определение 1. Система ненулевых векторов называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны.

Теорема 1. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Доказательство. Предположим противное: существует ортогональная система ненулевых векторов и она линейно зависима. Следовательно, найдутся числа с₁, с₂, …, с_k не все равные нулю такие, что

. (*)

Умножим обе части равенства (*) на вектор скалярно.

,

.

Учитывая ортогональность системы получим:

,

следовательно, с₁ = 0. Аналогично, умножая равенство (*) последовательно на вектора ,...,, получим, что , т.е. все коэффициенты линейной комбинации векторов равны нулю. Получили противоречие, доказывающее теорему.