Ранг и базис n‑мерного линейного

векторного пространства

Теорема 1. Ранг n-мерного пространства равен его размерности: r=n.

Доказательство. На основании теоремы Штейница ранг не превышает n. С другой стороны, в пространстве имеется система из n линейно независимых единичных векторов, следовательно, ранг не меньше n. Значит, базис содержит n векторов.

Следствие 1. Любой базис n-мерного пространства состоит из n линейно независимых n-мерных векторов.

Следствие 2. Любая система в n-мерном пространстве, содержащая больше чем n векторов, линейно зависима.

Следствие 3. Любой вектор пространства можно однозначно разложить по векторам любого базиса. Коэффициенты разложения для данного вектора и данного базиса определяются единственным образом. Коэффициенты разложения называются координатами данного вектора в этом базисе.

Пример. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0 … 0),

…

(0, 0, 0, …, 1).

Данная система образует базис в n-мерном пространстве, который называется единичным.

Возьмем вектор ā(а₁, а₂, ..., а_n).

.