Ранг и базис системы векторов

Определение 1. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

.

Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Доказательство. Пусть система имеет базис .

1 случай. Вектор - из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда =.

2 случай. Вектор - не из базиса. Тогда r>k.

Рассмотрим систему векторов . Данная система является линейно зависимой, так как - базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с₁, с₂, …, с_k, с, не все равные нулю, такие, что

= .

Очевидно, что (если с=0, то базис системы является линейно зависимым).

.

Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.

=,

=.

Вычитая эти равенства, получим

.

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим

.

Следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.

Пример. Дана система векторов: (2, 0), (5, 5), (4, 3).

r=2, = · + · .

, ; , ; , - базисы системы.