Определение 1. Система
векторов называется линейно
зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы,
и линейно независимой - в противном случае.
Определение 1´.
Система векторов называется линейно
зависимой, если найдутся числа с1, с2,
…, сk, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация
векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору:
=
, в противном случае система называется линейно независимой.
Покажем, что эти определения эквивалентны.
Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:
,
.
Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.
Пусть выполняется определение
1´. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например,
коэффициенты при векторе
.
,
,
.
Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.
Определение 2. Единичным
вектором, или ортом, называется n-мерный вектор, у которого
i-я координата
равна единице, а остальные - нулевые.
. (1, 0, 0, …, 0),
(0, 1, 0, …, 0),
…
(0, 0, 0, …, 1).
Теорема 1. Различные единичные векторы n-мерного пространства линейно независимы.
Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.
=
.
Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.
Каждый вектор n-мерного пространства ā(а1, а2 , ..., аn) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора
.
Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Доказательство. Пусть дана система векторов и один из векторов
является нулевым, например
=
. Тогда с векторами данной системы можно составить линейную
комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:
=
.
Следовательно, система линейно зависима.
Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Доказательство. Дана система векторов . Предположим, что система
линейно зависима, т.е.
найдутся числа с1, с2, …, сr, не все равные нулю,
такие, что
=
. Тогда
=
.
Получилось, что линейная
комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно,
система векторов линейно зависима.
Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.
Доказательство.
Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.
Теорема 4 (теорема Штейница). Если каждый из
векторов является линейной
комбинацией векторов
и m>n, то система векторов
линейно зависима.
Следствие. В любой системе n-мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.
Доказательство. Каждый n-мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m>n, то, по теореме, данная система линейно зависима.