Многочлены. Разложение многочлена на множители

Определение 1. Функция , где n- целое число называется многочленом (полиномом) n-й степени, где -действительные или комплексные числа. Независимая переменная может принимать действительные или комплексные значения.

Определение 2. Корнем многочлена называют значение переменной , при которой он обращается в ноль.

Теорема 1. (Безу) При делении многочлена на разность , получается остаток, равный .

Доказательство. При делении на в частном получается многочлен степени и остаток , т.е. при всех

,

при

,

.

Следствие. Если -корень многочлена, то делится на без остатка.

.

Теорема 2. (Основная теорема алгебры). Всякий многочлен имеет по крайней мере один корень действительный или комплексный.

Теорема 3. Всякий многочлен -ой степени разлагается на линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .

Доказательство. Пусть дан многочлен . По основной теореме он имеет хотя бы один корень . По следствию из теоремы Безу

,

где -многочлен степени . Многочлен также имеет хотя бы один корень .

,

где -многочлен степени .

,

и т.д.

,

где -многочлен нулевой степени, т.е. число. Очевидно, что .

Следствие. Многочлен -ой степени не может иметь более, чем различных корней.

,

где -корни. Если взять , при всех i, то правая часть последнего равенства в ноль не обращается.