Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Определение 1. Из формулы для произведения комплексных чисел следует формула Муавра: если , то

.

При возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на нее. Если , то

, .

Определение 2. Корнем n-ой степени (nÎN) из комплексного числа называется комплексное число, n-ая степень которого равна подкоренному числу.

Выведем формулу для вычисления корня. Пусть , . Тогда

.

По определению корня

,

.

Чтобы выполнялось это равенство необходимо, чтобы

, kÎZ;

, , kÎZ.

Подставим данные значения в выражение для корня.

.

Меняя мы получим n различных значений корня из комплексного числа. Следовательно, корень n–ой степени из действительного числа также имеет n комплексных значений, т.к. действительное число является частным случаем комплексного числа.

Пример 1. .

,

,

.

Проверим, что третье из полученных чисел является корнем.

Возведем его в куб.

.

Пример 2. Решим уравнение .

.

,

,

,

.

Получено две пары сопряженных корней.