Действия над комплексными числами.

Определение 1. Суммой (разностью) двух комплексных чисел    и    называется комплексное число  , определяемое равенством

.

Re z = Re z1+Re z2,                         Im z = Im z1+Im z2.

Если комплексные числа изобразить векторами, то их сумму и разность можно найти как сумму и разность этих векторов на плоскости.

            Найдем различные степени мнимой единицы.

                        ,          ,           ,             ,             , …

Следовательно,

                                                                       ,

                                                                       ,

                                                                       ,

                                               .

            Определение 2. Произведением комплексных чисел     и    называется комплексное число, которое получится, если перемножить эти числа как двучлены по правилам алгебры.

,

 Re z = а1а2-b1b2,  Im z = a1b2 + a2b1.

            Если комплексные числа записаны в тригонометрической форме

,   ,

то

    ,

.

,                         .

При перемножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент равен сумме аргументов.

            Определение 3. Комплексные числа    и    называются сопряженными.

            Сопряженные числа обладают свойствами:

                                                           ,

                                                           .

Произведение сопряженных чисел равно квадрату модуля каждого из них.

Определение 4. Чтобы разделить два комплексных числа z1  на  z2, надо умножить делимое и делитель на сопряженное делителю комплексное число. Тогда в знаменателе дроби получится действительное число.

.

Формула для деления комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:

.

Покажем, что эта формула верна. Умножим результат на z2.

Следовательно, частное найдено верно.

,           .

При делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов.

 

Замечание 1. Если правила действия над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то они совпадут с арифметическими правилами действия над числами.

Замечание 2. Если в определениях 1,2,4, заменить сопряженным числом каждое комплексное число, то и результат будет сопряженным соответственно к исходным результатам.

Теорема 1. Если в многочлен , где Ai            ÎR,  подставить вместо   число  , а затем сопряженное число  , то результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными.