Свойства неопределенного интеграла
Теорема 1. Производная от неопределенного
интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал
от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
Доказательство. Пусть функция f(x)
имеет первообразную F(x), тогда
ò f(x)dx = F(x) + c.
Найдем производную и дифференциал от обеих частей
равенства.
(ò f(x)dx)' = (F(x) + c)' = f(x),
d(ò f(x)dx) = (ò f(x)dx)' dx = f(x)dx.
Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.
Доказательство. ò d f(x) = ò f'(x)dx = f(x) + C.
Из теорем 1 и 2 следует, что
операции дифференцирования и интегрирования
являются взаимнообратными.
Теорема
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Доказательство. Пусть функция f(x) имеет
первообразную F(x).
ò f(x)dx = F(x) + C.
Умножим обе части на k .
k ò f(x)dx = k F(x) + C1, где C1 = k C.
Найдем производную функции kF(x).
(k F(x))' = k f(x).
Функция k F(x)
является первообразной функции k f(x).
Следовательно,
ò k f(x)dx = k F(x) + C,
ò k f(x)dx = k ò f(x)dx.
Теорема 4. Неопределенный
интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов
от этих функций.
