Связь между производной и дифференциалом
Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой
точке она имеет дифференциал.
Доказательство. Функция 
- дифференцируема в
точке х0,
.
По теореме о связи
предела и б.м. функции:
,
где 
- б.м. функция при 
.
Умножим обе части на Dх:
,
- б.м. функция более
высокого порядка, чем Dх.
.
Следовательно, функция имеет дифференциал и 
.
Теорема 2. Если функция имеет
дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.
Доказательство. Пусть функция имеет дифференциал 
. Тогда
.
Разделим обе части на Dх:
.
Переходя к пределу при 
, получим
.
Таким образом, функция имеет производную и 
.
Из этих теорем следует, что 
.