Возрастание и убывание функций

Определение. Числовая функция y=f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве АÌ D(f), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции:

"x₁, x₂ÎАÌ D(f) : x₁>x₂ Þf(x₁)>f(x₂) ( f(x₁)<f(x₂) ).

Из определения следует, что если функция возрастает (убывает), то

Приращение функции и приращение аргумента возрастающей (убывающей) функции имеют одинаковые (противоположные) знаки.

Теорема 1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на некотором интервале, то в каждой точке этого интервала производная этой функции неотрицательна (неположительна).

Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a,b). Возьмем произвольную точку и дадим в ней аргументу приращение Dx так, что:

.

Переходя к пределу в этом неравенстве при , получим

.

Теорема 2. Если производная функции на некотором интервале неотрицательна (неположительна), то на этом интервале функция возрастает (убывает).