Приведение квадратичной формы

к каноническому виду

Рассмотрим квадратичную форму

Выпишем ее матрицу и вектор-столбец переменных.

; .

Тогда квадратичную форму можно представить в виде

- матричная запись квадратичной формы.

Пример 1. R.

, .

Определение 1. Если в некотором базисе квадратичная форма не содержит смешанных произведений переменных, т.е.

то этот базис называют каноническим базисом данной квадратичной формы, а вид называют каноническим видом данной квадратичной формы.

Определение 2. Нормированием вектора называется нахождение вектора того же направления единичной длины.

Теорема 1. Любую симметричную матрицу можно представить в виде A=U^TDU, где D - диагональная матрица, у которой на диагонали расположены собственные числа матрицы А; U - матрица, составленная из нормированных собственных векторов матрицы А. Каждый вектор является столбцом.

Следовательно, любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью некоторого ортогонального преобразования координат. Для всякой квадратичной формы существует канонический базис.

Если ввести новые переменные по формуле , то квадратичная форма примет следующий вид:

- канонический вид квадратичной формы.

Из данного равенства видно, что коэффициентами в каноническом виде являются собственные числа матрицы А.

Теорема 2 (закон инерции квадратичных форм). В любом каноническом виде квадратичной формы количество положительных и отрицательных коэффициентов постоянно.

Пример 2. Приведем квадратичную форму

к каноническому виду. Выпишем ее матрицу.

Найдем собственные значения матрицы квадратичной формы. Решим характеристическое уравнение.

Корни данного уравнения являются делителями свободного члена. Разложим его на простые множители и подберем один из корней.

- является корнем. Разделим многочлен на линейный множитель l-3.

Найдем корни остатка.

Получили три собственных значения матрицы. Найдем соответствующие им собственные векторы. Собственный вектор, соответствующий собственному значению l=3, найдем из уравнения .