Понятие квадратичной формы

Определение 1. Скалярная функция векторного аргумента, которая представляет собой однородный многочлен второго порядка, называется квадратичной формой.

Определение 2. Матрица, составленная из коэффициентов квадратичной формы , называется матрицей квадратичной формы.

Пример. R, .

Матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали.

Теорема 1. Любая симметричная квадратная матрица порядка n имеет n действительных собственных значений и собственных векторов. Собственные векторы симметричной матрицы попарно ортогональны.

Следовательно, собственные векторы матрицы образуют базис в пространстве .

Определение 3. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы А.

Определение 4. Квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любого

>0 (<0).

Теорема 2 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые миноры матрицы А являются положительными, т.е.