Аналитическая геометрия

Задача 1. Дан треугольник АВС: А(2,1), В(-1,3), С(-4,1). Найти:

уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.

Решение. Сделаем чертеж.

                                                                                             

                             Y                                                              

                                   D                                                       

                                                                                             

                       B                                                                   

                                   3                                                        

                                        E                                                  

C                                1                A                                      

                                                                                             

    -4                -1   0                   2                  X                    

                                                                                             

                                                                                             

1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

.

Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:

.

2. Найдем длину высоты АD. Используем формулу расстояния от точки до прямой:

.

Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.

.

3. Составим уравнение высоты АD. Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, kBC=2/3. Из условия перпендикулярности kAD=-1/kBC=-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

.

4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.

 Точка Е (1/2,2).

5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении  от прямой ВС к прямой АВ. kBC=2/3, kAB=-2/3.

6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде

AB:  2x+3y=7,

BC:  2x-3y=-11,

AC:  y=1.

Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.

2x+3y=-2+6=4<7,

2x-3y=-2-6=-8>-11,

y=2>1.

Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид

 

Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку .

Решение. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . Так как гипербола проходит через точку А (8; ), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. .  Так, как = 1,25, то  = 1,25, но , тогда  = 1,5625или .

Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b.

Решая эту систему, находим = 16 и  = 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

 

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы  и центр окружности .

Решение. Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.

 

Уравнение параболы: ;

уравнение окружности: .

Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты   С (-2; 1).

Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле

.

Получим , или .