Линейная алгебра

Задача 1. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричной форме , где

Найдем обратную матрицу к матрице А. Составим расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее левую часть к единичной матрице.

Возьмем третью строку. Сложим ее со второй строкой и сложим с первой строкой, умножив на (-3).

умножим первую строку на (-1):

возьмем первую строку. Умножим ее на (-2), сложим со второй строкой и сложим с третьей строкой, умножив первую строку на (-1):

разделим вторую строку на (4)

возьмем вторую строку. Умножим ее на 2 и сложим с первой строкой и сложим с третьей строкой, умножив вторую строку на (-1):

переставим две последние строки:

В левой части расширенной матрицы получена единичная матрица, следовательно, в правой части получена обратная матрица.

Найдем решение системы.

Задача 2. Даны две системы векторов:

₁(6,1,2), ₂(-1,2,1), ₃(3,-1,1);

₁(1,2,-3), ₂(-1,0,5), ₃(0,2,2).

Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует базис. Найти координаты вектора (8, 2, 4) в этом базисе с помощью формул Крамера.

Решение. Составим матрицу из координат векторов первой системы и найдем ее ранг. Для этого приведем ее к треугольному виду.

переставим первые две строки

умножим первую строку на 6 и сложим со второй, умножим первую строку на 3 и сложим с третьей строкой

разделим вторую строку на 13

умножим вторую строку на (-5) и сложим с третьей

Ранг системы векторов равен 3. Векторы линейно независимы и поскольку их три и они трехмерные, то они образуют базис в трехмерном пространстве. Любой вектор пространства можно разложить по векторам этой системы.

.

Найдем координаты разложения. Подставим координаты векторов в последнее равенство.

(8,2,4)=с₁(6,1,2)+с₂(-1,2,1)+с₃(3,-1,1),

(8,2,4)=(6с₁-с₂+3с₃ , с₁+2с₂-с₃ , 2с₁+с₂+с₃).

Так как векторы равны, то равны их координаты.

Получена система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решим ее методом Крамера. Найдем главный определитель системы.

.

Система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители. Они получаются из главного определителя заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.

,

,

.

Выпишем решение системы.

Разложение вектора (8, 2, 4) в данном базисе имеет вид

.

Найдем ранг второй системы векторов. Составим матрицу из координат векторов и приведем ее к треугольному виду.

прибавим первую строку ко второй

умножим вторую строку на (-1) и сложим с третьей

.

Ранг системы векторов равен 2. Векторы линейно зависимы и они не образуют базиса в трехмерном пространстве.

Задача 3. Найти базисное неотрицательное решение системы

и сделать переход к другому неотрицательному базисному решению. Выписать общее решение системы.

Решение. 1. Заполняем исходную таблицу. Умножаем третье уравнение на (-1).

№	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	bi
1		6	1	-2	-2	1	5
2		6	1	2	1	2	8
3		0	1	-3	-3	0	2

2. Выбираем ключевой столбец, например второй, т.е. вводим в базис переменную x₂.

3. Выбираем ключевую строку, для этого найдем

, следовательно, третья строка будет ключевой.

Заполняем вторую таблицу.

1. Ключевую строку делим на ключевой элемент, равный единице, следовательно, строка перепишется без изменения.

2. Ключевой столбец заполняем нулями.

3. В ключевой строке были нулевые элементы, следовательно, первый и пятый столбцы переписываются без изменения.

4. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника:

№	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	bi
1		6	0	1	1	1	3
2		6	0	5	4	2	6
3	x2	0	1	-3	-3	0	2

Возьмем пятый столбец ключевым, т.е. введем в базис переменную х₅, тогда , любую из этих двух строк можно брать ключевой, например, первую. Заполняем третью таблицу:

№	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	bi
1	x5	6	0	1	1	1	3
2		-6	0	3	2	0	0
3	x2	0	1	-3	-3	0	2

Введем в базис переменную х₄, тогда , т.е. ключевой строкой будет вторая строка. Заполняем четвертую таблицу.

1. Ключевую строку делим на 2.

2. Ключевой столбец заполняем нулями.

3. Перепишем без изменения второй, пятый и последний столбцы.

4. Остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника:

№	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	bi
1	x5	9	0	-	0	1	3
2	x4	-3	0		1	0	0
3	x2	-9	1		0	0	2

Система приведена к единичному базису. Выпишем общее решение системы.

Выпишем из таблицы опорное решение . Найдем второе опорное решение, для этого введем в базис одну из свободных переменных, например х₁. Ключевой строкой будет первая строка, так как в столбце единственный положительный элемент - 9. Заполняем пятую таблицу:

№	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	bi
1	х1	1	0	-	0
2	х4	0	0		1		1
3	x2	0	1	1	0	1	5

Выпишем из таблицы второе опорное решение .

Задача 4. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Найдем собственные значения матрицы. Составим характеристическое уравнение для матрицы А.

,

,

,

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению l=1. Для этого решим векторное уравнение .

Так как эти векторы равны, то равны их координаты.

Оба эти уравнения эквивалентны уравнению

.

Возьмем х₁=с, тогда х₂=-2с. Таким образом, получен собственный вектор, , соответствующий собственному значению l=1.

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению l=7. Для этого решим векторное уравнение .

Так как эти векторы равны, то равны их координаты.

Оба эти уравнения эквивалентны уравнению

.

Возьмем х₂=с, тогда х₁=с. Таким образом, получен собственный вектор , соответствующий собственному значению l=7.