Таблица производных

Дифференциальное исчисление

Задача 1.  Найти производную функции  .

Решение. Преобразуем функцию: . Тогда

.

 

Задача 2.  Найти производную функции  .

Решение. Находим производную сложной функции:

.

 

Задача 3.  Найти производную функции  .

Решение. Целесообразно сначала прологарифмировать функцию:

.

Найдем производную от обеих частей последнего равенства:

.

Отсюда

.

 

Задача 4.  С помощью дифференциала найти приближенное значение выражения    с точностью до 0,001.

Решение. Используем формулу

, где

Тогда

.

 

Задача 5.  Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию    и построить ее график.

Решение. 1.  y=f(x).

1)     Функция определена при всех значениях х, кроме х=2, т.е.

2)     Четность. . Функция не  является ни четной, ни нечетной.

3)     Функция не периодическая.

4)     Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Очевидно, если х=0, то у=0, и если у=0, то х=0. Следовательно, график функции проходит через начало координат.

5)     Функция непрерывна в области своего определения.

Поскольку  и , то точка х=2 является точкой разрыва второго рода. Исследуем поведение функции на бесконечности.

.

6)  Найдем асимптоты графика функции. Известно, что если , то прямая  является вертикальной асимптотой графика функции. Если  и , то прямая  является наклонной асимптотой графика функции . Поскольку  и , то прямая х=2 является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем

;  т.е. k=1.

,  т.е. .

Следовательно, прямая  является наклонной асимптотой графика функции.

2. .

 

Найдем промежутки монотонности функции и точки экстремума. Для этого определим . Производная обращается в ноль при х=0 и 4, а при х=2 не существует.

 

 

                                                                                                    

            +                    -            -                    +                            

                          0              2          4                                X        

                                                                                                    

 

При , следовательно, на этом интервале функция возрастает.

При   функция на этом интервале убывает. Следовательно, х=0 является точкой максимума.

.

При  - убывает.

При  - возрастает.

Следовательно, при х=4 функция имеет минимум:

.

3. .

Определим промежутки выпуклости и вогнутости графика функции. Для этого найдем вторую производную:

.

Вторая производная  на области определения и не существует при х=2. Исследуем знак второй производной.

                                                                                                  

                                                                                                  

                            -                      +                                            

                       Ç         2          È                                X       

                                                                                                  

При , следовательно, в этом интервале график функции выпуклый.

При  график функции вогнутый. Точек перегиба график функции не имеет.

4. График:

                                                                                             

                                         Y                                                  

                                         8                                                  

                                                                                             

                                                                                             

                                                                                             

                                                                                             

                                          2                                                 

                                   -2        0       2  4                              

                                                                                    X