Степенные ряды.

Область сходимости степенного ряда

Пример. Найти область сходимости степенного ряда:

.

Решение. Вычислим по формуле радиус сходимости . Для этого выпишем коэффициенты ряда

.

.

Ряд сходится при . Исследуем сходимость ряда на концах промежутка сходимости. При получаем числовой ряд

.

Данный ряд сходится по признаку Лейбница (условно).

При имеем ряд - это расходящийся гармонический ряд.

Итак, областью сходимости данного ряда является полуоткрытый промежуток .

Замечание. Для степенного ряда

промежутком сходимости служит промежуток .