Знакочередующиеся ряды. признак Лейбница

Пример 1. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

.

Решение. Так как члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

,

а при , т.е. , то, в силу признака Лейбница, ряд сходится.

Пример 2. Оценить ошибку, допускаемую при замене ряда

суммой трех его первых членов.

Решение. Сначала докажем, что данный ряд сходится. Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине:

и .

По признаку Лейбница, ряд сходится. Ошибка , получающаяся при замене суммы этого ряда суммой трех первых его членов, меньше абсолютного значения четвертого члена:

, или .