Частные производные функции двух переменных

Рассмотрим функцию двух переменных .

Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например , положив . Тогда функция есть функция одной переменной .

Пусть она имеет производную в точке :

.

Данная производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции по в точке и обозначается одним из следующих символов: ; ; ; .

Разность называется частным приращением по функции в точке и обозначается символом :

.

Учитывая приведенные обозначения, можно записать

.

Аналогично определяются и обозначаются частное приращение функции по и частная производная по в точке :

,

.

Значение частной производной зависит от точки , в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных , вообще говоря, есть функция точки , т.е. также является функцией двух переменных и .

Все правила и формулы дифференцирования, выведенные для производных функций одной переменной, сохраняются для частных производных функции двух переменных.

Однако следует помнить, что при нахождении частной производной по какому-либо аргументу второй аргумент считается постоянным.

Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.

Например, функция имеет четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

; ;

; .

При этом частные производные и называются смешанными частными производными.

Обратите внимание на то, что . Данный результат не случаен, так как имеет место следующая теорема.

Теорема 7.1. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.