Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называются уравнения вида

, (1)

, (2)

где ,- числа, непрерывная функция. Уравнение (1) - линейное однородное дифференциальное уравнение, уравнение (2) - линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Определение 2. Квадратное алгебраическое уравнение

(3)

называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (1).

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Теорема 1. 1) Если - вещественный корень уравнения (3), то функция является решением уравнения (1);

2) если числа , - комплексные корни уравнения (3), то функции , являются решениями уравнения (1).

Теорема 2. 1) Если корни характеристического уравнения (3) вещественные и различные , то общее решение уравнения (1) имеет вид ;

2) если корни характеристического уравнения (3) вещественные и равные , то общее решение уравнения (1) имеет вид ;

3) если корни характеристического уравнения (3) комплексные , то общее решение уравнения (1) имеет вид , где , - произвольные постоянные.

Линейные неоднородные

дифференциальные уравнения

Теорема 3. Общее решение уравнения (2) есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (2):

1) , где - многочлен -й степени. Тогда частное решение можно искать в виде , где - многочлен той же степени, что и , а - число корней характеристического уравнения (3), равных нулю;

2) , где - многочлен степени n. Тогда частное решение можно искать в виде , где - многочлен той же степени, что и , а - число корней характеристического уравнения (3), равных . Если , то , т.е. имеет место случай 1);

3) , где известны. Тогда частное решение следует искать в виде , где , - неизвестные коэффициенты, - число корней характеристического уравнения, равных ;

4) , где - многочлен степени n, - многочлен степени m,- известное вещественное число. Тогда частное решение нужно искать в виде , где , - многочлены степени , а - число корней характеристического уравнения, равных .

Теорема 4. Если - решение уравнения , а - решение уравнения , то сумма является решением уравнения .