Понятие определенного интеграла

и формула Ньютона - Лейбница

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Разобьем отрезок на произвольных частей точками , выберем на каждом частичном отрезке произвольную точку и обозначим через длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида

(1)

Определенным интегралом от функции на отрезке называется конечный предел интегральной суммы (1) при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков стремится к нулю:

. (2)

Если функция непрерывна на отрезке , то предел (2) существует и не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и от выбора точек в каждом из них (теорема существования определенного интеграла).

Свойства определенного интеграла

1. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

.

3. При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:

.

4. Отрезок интегрирования можно разбивать на частичные отрезки:

.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

.

6. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

.

7. Если промежуток интегрирования симметричен, то , если - нечетная функция, и , если - четная функция.

Для вычисления определенного интеграла от функции используют формулу Ньютона - Лейбница:

,

где -любая первообразная функции . Определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.