Исследование и построение графиков функций

 

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции

.

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой оси.

Производная функции .

Решаем неравенство , следовательно, функция возрастает на интервалах  и . Решая неравенство , , находим . Следовательно, функция убывает на интервале .

Пример 2. Найти экстремум функции

.

Решение. Данная функция непрерывна на всей числовой оси. Производная функции .

Решив уравнение , получим критическую точку . Так как  в точке  не существует, то тоже является критической точкой. Критическими точками являются  и .

Расположим критические точки в порядке их возрастания на числовой оси (рис. 1)

 

 

 

 

 

 


+                                            -                                                             +

                                                                 0                                                                                                       X

Рис. 1

Исследуем знак производной в окрестности каждой из этих точек при :

По первому достаточному условию экстремума, при переходе через критическую точку  слева направо производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, функция имеет в точке  максимум, причем .

При переходе через точку  производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, функция имеет минимум:

Пример 3. Найти экстремум функции  на отрезке .

Решение. Данная функция определена и непрерывна на отрезке .

Производная функции .

Решив уравнение , получим

.

Точки  являются критическими.

Находим вторую производную , определим ее знак в критических точках:

;  .

На основании второго достаточного условия существования экстремума в точке  функция имеет минимум:

;

в точке  функция имеет максимум:

.

Пример 4. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции

.

Решение. Данная функция определена на всей числовой оси. Производная функции:

.

Вторая производная функции:

.

Решив уравнение , находим . Вторая производная не существует при . Критическими точками второго рода являются точки  и .

Исследуем знак второй производной в окрестности каждой из этих точек (рис. 2).

 

 

 

 


                       -                                              +                                             -

                                              0                                                     1                             X

 

Рис. 2

;

;

;

.

Следовательно, в промежутках  функция выпукла, а в промежутке  вогнута. При переходе через точки  и  вторая производная меняет знак, отсюда на основании достаточного условия точек перегиба эти точки являются точками перегиба графика функции.

Определим значение функции в точках перегиба:

.

Пример 5. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Данная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, поэтому вертикальных асимптот график функции не имеет. Горизонтальных асимптот функция также не имеет, так как

.

Найдем наклонные асимптоты:

Следовательно, график функции  имеет две наклонные асимптоты  при  и  при .

График функции показан на рис. 3.

 

 

 

 

 


                                                O

 

 

 

 

Рис. 3