Использование понятия производной в экономике

Задача о производительности труда

Пусть функция выражает количество произведенной продукции u за время t. Тогда производительность труда можно определить как предельное значение средней производительности труда при , т.е. как производную функции :

. (2.2)

Предельные и средние показатели

При изучении экономических процессов выполняется расчет средних и предельных значений функций, выражающих зависимости между различными экономическими факторами.

Средняя величина показателя вычисляется как отношение значения определяющей его функции к соответствующему значению аргумента. Например, пусть функция выражает зависимость издержек производства y от объема выпускаемой продукции x. Тогда функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле

.

Для обозначения средних величин к обычному обозначению величин добавляется буква А.

Под предельным (маржинальным) значением показателя в экономическом анализе принято понимать производную функции этого показателя (если эта функция непрерывна). Так, в нашем примере предельные издержки производства

.

Для обозначения предельных величин к обычному обозначению добавляется буква М. Если функция показателя дискретна, то под предельной (маржинальной) величиной понимают отношение изменения функции к вызвавшему это изменение приращению независимой переменной.

Предельные величины характеризуют процесс изменения экономического объекта по времени или относительно некоторого фактора. Они выражают прирост соответствующего показателя в расчете на единицу прироста определяющего его фактора. Так, предельные издержки характеризуют приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогично могут быть определены другие предельные показатели: предельная выручка, предельная себестоимость, предельная производительность, предельный доход, предельный спрос и др.

Эластичность функции

Эластичностью непрерывной функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

.

Эластичность может быть выражена в виде отношения предельной и средней величин: .

Эластичность функции - безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины x и y. Она показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на 1%.

Свойства эластичности состоят в следующем.

1. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

;

.

2. Эластичности взаимно обратных функций есть взаимно обратные величины:

.

3. Если с - постоянная, то ; .

Рассмотрим функцию спроса: зависимость количества покупаемого товара q от его цены p: q=q(p). Эластичность спроса по цене определяется по формуле

. (2.3)

Если >1, спрос называют эластичным. Небольшое изменение цены товара вызывает значительное изменение величины спроса на него.

Если 0<<1, спрос называют неэластичным. Изменение цены ведет к сравнительно небольшому изменению величины спроса.

Если =1, спрос называют нейтральным.

Исследуем динамику выручки при различных видах спроса. Выручка от продажи товара по цене p составляет . Предельная выручка

.

Заметим, что, поскольку функция спроса является убывающей, ее производная <0. Поэтому и <0.

Следовательно:

- если спрос эластичен, то с повышением цены выручка от продажи снижается (для повышения выручки продавцам выгодно понижать цену);

- при нейтральном спросе выручка практически не зависит от цены;

- при неэластичном спросе повышение цены приводит к росту выручки (продавцам выгодно повышать цену).