Цели и задачи курса "Математика"

Рабочая программа дисциплины "Математика" составлена в соответствии с требованиями, отраженными в Федеральных общеобразовательных стандартах.

Цель дисциплины "Математика" в системе подготовки экономиста - освоение необходимого математического аппарата, с помощью которого принимаются эффективные управленческие решения в производственно-коммерческой деятельности хозяйствующего субъекта.

При рассмотрении математических понятий (например, производной, интеграла) разъясняется их экономические приложения, рассматриваются приложения математики в экономике.

Раздел "Экономико-математические методы и модели" является завершающим этапом математического образования экономиста. Все математические дисциплины (высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика), изучаемые на предыдущих этапах, составляют базу для освоения данного курса.

Дисциплина "Математика" имеет прикладной характер. Его цель - дать будущему специалисту необходимые знания и навыки, которые бы позволили ему решать практические задачи на высоком профессиональном уровне.

Курс "Математика" тесно связан с другими предметами, изучаемыми студентами данной специальности. Это касается прежде всего, курса "Экономическая теория". Многие вопросы изучаемые в курсе «Экономическая теория» на описательном, популярном уровне, изучаются здесь на основе профессионального подхода. Например, анализ межотраслевых связей, эконометрические модели, исследование динамики экономических показателей. Неслучайно этот курс иногда называют "математической экономикой".

С другой стороны, данный курс тесно связан с информатикой и АСУ. Действительно, экономико-математические методы лежат в основе создания прикладных проблемно ориентированных пакетов, автоматизированных рабочих мест, систем автоматизированного проектирования, систем управления базами данных, экспертных систем. Более того, некоторые экономико-математические методы развиваются именно благодаря компьютеру. Так, совершенствование компьютерной техники дало новый толчок развитию линейного программирования, прикладного регрессионного анализа, статистического имитационного моделирования и некоторых других направлений прикладной математики.

Студент, успешно освоивший данную дисциплину, должен:

1) владеть основными понятиями математики, знать их геометрический и экономический смысл;

2) иметь представление о роли математики при принятии управленческих решений в экономике;

3) составлять математические модели и применять математические методы для решения экономических задач, в том числе с использованием персональных компьютеров;

4) видеть формально-математическую сущность реальной проблемы и корректно оценивать ее сложность;

5) правильно поставить и решить задачу оптимального выбора там, где это необходимо;

6) грамотно обрабатывать статистический материал, строить математические модели и делать правильные выводы.

ПРОГРАММА КУРСА

1.	ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ	0,5 ч
	Математическая символика. Понятие множества. Операции над множествами. Свойства операций. Понятие окрестности точки.
2.	ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА	0,5 ч
	Логические исчисления:Логические операции. Таблицы истинности. Комбинаторика: Перестановки. Подстановки. Операции над ними. Размещения. Сочетания. Их свойства. Бином Ньютона. Графы: Основные понятия. Характеристики графов. Плоские графы. Эйлеровы графы. Гамильтоновы графы. Орграфы.
3.	МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.	4 ч
	Функция. График функции. Предел числовой последовательности. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела функции. Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов. Непрерывность функции. Точки разрыва функции. Дифференциальное исчисление: Производная функции. Ее геометрический и экономический смысл (предельные издержки производства, эластичность функции спроса и предложения.) Производные высших порядков. Правило Лопиталя. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала. Численные методы: Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Условия монотонности функции. Экстремум функции. Необходимый и достаточные признаки существования экстремума. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции. Интегральное исчисление : Неопределенный интеграл и его свойства. Основные методы интегрирования. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Достаточное условие существования определенного интеграла. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбица. Свойства определенного интеграла. Основные методы интегрирования. Геометрические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Численные методы : Приближенное интегрирование.
4.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.	0,5 ч
	Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
5.	РЯДЫ.	0,5 ч
	Ряды с положительными членами. Их свойства. Необходимый и достаточные признаки сходимости. Знакопеременные ряды. Степенные ряды. Ряд Маклорена.
6.	ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА	4 ч
	Понятие n-мерного вектора. Векторное пространство. Линейно независимые системы векторов. Ранг и базис. Ортонормированный базис. Разложение вектора по данному базису. Ранг системы векторов. Матрицы. Действия над матрицами и их свойства. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы и его свойства. Собственные векторы и собственные значения матриц. Условия совместности и определенности системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
7.	АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.	0,5 ч
	Группы, кольца, поля, линейные векторные пространства, алгебры. Их аксиоматика и свойства. Линейные отображения. Матрица отображения. Кольцо операторов.
8.	ФАЗЗИ-ТЕОРИЯ.	0,5 ч
	Булевы алгебры. Аксиоматика и свойства. Применение в теории множеств. Нечеткие множества. Алгебра нечетких множеств. Геометрическая интерпретация. Нечеткая логика. FAT. Нечеткие алгоритмы. Теория неопределенности.
9.	ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.	0,5 ч
	Предмет и метод аналитической геометрии. Уравнение линии на плоскости. Прямая на плоскости. Уравнение прямой и плоскости в пространстве. Понятие о кривых второго порядка. Преобразование системы координат.
10.	ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.	0,5 ч
	Евклидово пространство. Открытые и замкнутые множества. Выпуклые множества. Теорема о представлении выпуклого многоугольника. Системы линейных неравенств. Многомерные кривые и поверхности.
11.	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ	1 ч
	Функция нескольких переменных. Непрерывность. Частные производные и полный дифференциал. Градиент. Производная по направлению. Экстремум функции нескольких переменных. Численные методы: метод наименьших квадратов.
12.	ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.	0,5 ч
	Векторное и смешанное произведение. Градиент. дивергенция, ротор. Виды полей.
13	ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА	4 ч
	Случайные события. Виды случайных событий. Частота и вероятность. Непосредственный подсчет вероятностей. Основные формулы для вычисления вероятностей. Случайные величины. Случайные процессы. Виды случайных величин. Закон распределения случайной величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения и их свойства. Числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин. Основные законы распределения случайных величин, характеристики распределения. Нормальный закон распределения .Дифференциальная функция распределения. Параметры распределения.. Функция Лапласа. Интегральная функция нормального распределения. Вероятность попадания в заданный интервал. Распределение Пирсона. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера-Снедекора. Закон больших чисел. Генеральная совокупность и выборка .Виды выборок. Ряды распределения. Характеристики рядов распределения. Статистическое оценивание. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки. Интервальные оценки. Проверка статистических гипотез. Корреляция и регрессия. Функциональная, статистическая зависимости. Условные распределения. Условные средние. Корреляционная зависимость. Уравнение регрессии. Линейная корреляционная зависимость. Коэффициент корреляции и его свойства. Проверка значимости коэффициента корреляции. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Простейшие случаи нелинейной корреляционной зависимости. Корреляционное отношение и его свойства. Проверка значимости множественной регрессионной модели. Понятие о других методах многомерного статистического анализа.
14.	КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ	1 ч
	Понятие оптимизации. Общая постановка задачи математического программирования. Глобальный и локальный экстремумы. Теорема Вейерштрасса. Общая классификация моделей оптимизации. Класс выпуклых задач. Обзор и характеристика методов: методы последовательного приближения, методы последовательного анализа вариантов, методы случайного поиска.
15.	БЕЗУСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ	1 ч
	Экстремумы функций одной и многих переменных: необходимые и достаточные условия. Критерий Сильвестра. Численные методы поиска стационарной точки: метод Ньютона, градиентные методы. Задачи с ограничениями-уравнениями, метод множителей Лагранжа. Пример: модель оптимального потребительского спроса. Задачи с ограничениями-неравенствами.
16.	ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРГРАММИРОВАНИЯ	4 ч
	Общая постановка задачи. Каноническая форма задачи. Примеры прикладных задач. Геометрическая интерпретация: в пространстве переменных и в пространстве условий. Основные положения теории ЛП. Симплексный метод: табличный метод и метод с обратной матрицей. Двойственность. Прямая и двойственная задачи. Теоремы двойственности. Двойственные оценки и их экономическая интерпретация.
17.	ОБОБЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ	1 ч
	Задача дробно-линейного программирования. Целочисленные задачи линейного программирования, метод Гомори. Обобщенная задача линейного программирования (задача Вульфа), принцип генерирования столбцов. Решение некоторых выпуклых нелинейных задач, метод отсекающих гиперплоскостей.
18.	ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	0,5 ч
	Принцип оптимальности. Вводный пример. Формальное изложение метода: функция состояния, условно-оптимальные управления, рекуррентное соотношение Беллмана. Принципиальная блок-схема алгоритма. Условия эффективности метода. Примеры прикладных задач.
19.	КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ. ТЕОРИЯ РАСПИСАНИЙ	0,5 ч
	Задача коммивояжера. Метод ветвей и границ. Случайный поиск, как метод оптимизации. Простой и направленный случайный поиск. Элементы теории расписаний. Задача двух станков (задача Джонсона) и ее обобщения.
20.	МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ И СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ	0,5 ч
	Понятие стохастической системы. Непрерывные марковские цепи. Предельные вероятности состояний. Примеры прикладных задач. Процесс «размножения и гибели». Понятие СМО. Классификация СМО. Простейшие потоки и простейшие СМО. Расчет вероятностей состояний и характеристик простейших СМО. Примеры прикладных задач.
21.	ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ СТАХОСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ	0,5 ч
	Понятие машинной (компьютерной) имитации. Стохастическая имитация, метод Монте-Карло. Псевдослучайные числа. Способы получения псевдослучайных чисел с заданными параметрами распределений. Имитационные модели СМО.
22.	СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ	1 ч
	Основные понятия и правила построения сетевой модели. Расчет параметров сетевого графика и критического пути. Сетевые графики с вероятностными параметрами. Оптимизация сетевых графиков.
23.	ТЕОРИЯ ИГР И СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ	0,5 ч
	Элементы теории игр. Седловая точка. Матричные игры и линейное программирование. Основная теорема матричных игр. Теория статистических решений. Статистические решения без испытаний и с испытаниями.
24	ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ	2 ч
	Моделирование сферы потребления. Основная задача микроэкономического анализа. Функции полезности. Кривые безразличия. Функция спроса. Исследование функции спроса потребителя. Уравнение Слуцкого. Геометрическое представление функции спроса при изменении цен и дохода. Кривые «доход-потребление» и «цены-потребление». Моделирование производственно-технологических процессов. Материальные балансы. Основные виды производственных функций выпуска продукции и их свойства. Коэффициенты эластичности производства и их экономический смысл. Основные виды производственных функций затрат ресурсов и их свойства. Модели поведения общего фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции. Модель Эрроу-Гурвица. Общие модели развития экономики. Модель Солоу.
	Всего	30 ч