Кривые второго порядка

Определение. Уравнение второй степени относительно двух переменных

называется общим уравнением кривых второго порядка.

При разных значениях постоянных коэффициентов А, В, С уравнение описывает окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра).

Рис. 1

Нормальное уравнение окружности имеет вид , где х0,у0 - координаты центра окружности, R - радиус окружности (рис. 1). После преобразований в этом уравнении получим общее уравнение окружности: , где , ,.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина 2а, большая, чем расстояние между фокусами 2с (рис. 2).

Рис. 2

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где , если и фокусы находятся на оси Ох. Параметры a и b называются полуосями эллипса. Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояния точки М(х;у) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам , .

Рис.5.8.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина 2а, причем , где 2с - расстояние между фокусами (рис. 3).

Рис. 3

Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид , где . Параметр а называется вещественной полуосью гиперболы и представляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр b называется мнимой полуосью.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Расстояния от любой точки гиперболы, в частности М(х;у), до фокусов (т.е. фокальные радиусы) определяются по формулам

, .

Прямые, заданные уравнениями

,

являются асимптотами гиперболы.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы) (рис. 4).

Рис. 4

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной оси Ох, имеет вид . Уравнение вида описывает параболу, симметричную относительно оси Оу.

Фокальный радиус точки , т.е. ее расстояние до фокуса на оси Ох, находится по формуле

.

Парабола, ось которой параллельна оси Оу, описывается уравнением

.