Ранг матрицы

Для решения и исследования некоторых математических и прикладных задач большое значение имеет понятие ранга матрицы.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы и обозначается или .

Свойства ранга матрицы:

1) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. ;

2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. ;

3) для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица А - невырожденная.

Заметим, что определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Поэтому ранг матрицы можно найти путем приведения ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:

,

где .

Элементарные преобразования матрицы:

1) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4) отбрасывание нулевой строки.

Тогда ранг матрицы будет равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).