Интервалы выпуклости функции.

Точки перегиба

Определение. Функция называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке Х, если для любых двух значений х₁, х₂, из этого промежутка выполняется неравенство

.

Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.

Теорема. Если функция на промежутке Х имеет вторую производную , то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.

Теорема (необходимое условие перегиба). Для того чтобы функция имела перегиб в точке х₀, необходимо, чтобы вторая производная дважды дифференцируемой функции в этой точке равнялась нулю ().

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то точка х₀ является точкой перегиба функции .

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1) найти вторую производную функции ;

2) найти точки, в которых вторая производная или не существует;

3) исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба;

4) найти значения функции в точках перегиба.