Алгебра Буля

Пусть M – непустое множество элементов любой природы , в котором определены отношение равенства и три операции – сложение, умножение, отрицание, подчиняющиеся следующим аксиомам:

1) Коммутативные законы: а) x+y=y+x; б) x∙y=y∙x.

2) Ассоциативные законы: а) x+(y+z)=(x+y)+z; б) x∙(y∙z)=(x∙y)∙z.

3) Дистрибутивные законы: а) (x+y) z=(x∙z)+(y∙z); б) (x∙y)+z=(x+z)∙(y+z).

4) Законы идемпотентности: а) x+x=x; б) x∙x=x.

5) Закон двойного отрицания: .

6) Законы де-Моргана: а) ; б) .

7) Законы поглощения: а) ; б) .

Множество M называется булевой алгеброй.

Замечание 1. Если под основными элементами x, y, z… множества M подразумевать высказывания, под операциями сложения, умножения, отрицания – дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание соответственно, а знак равенства рассматривать как знак равносильности, то, как следует из равносильностей групп 1–3, все аксиомы булевой алгебры выполняются. Алгебра логики является моделью булевой алгебры или ее интерпретацией.

Замечание 2. Если под основными элементами x, y, z… множества M подразумевать множества, под операциями сложения, умножения, отрицания – объединение, пересечение, дополнение множеств соответственно, а знак равенства рассматривать как знак равенства множеств, приходим к алгебре множеств. В алгебре множеств все аксиомы алгебры Буля выполняются.

Замечание 3. Таблица соответствия между понятиями теории множеств и математической логики имеет вид:

Теория множеств	Математическая логика
Множество	Высказывание
Объединение	Дизъюнкция
Пересечение	Конъюнкция
Дополнение	Отрицание
Основное множество, E	Тавтология
Пустое множество, Ø	Противоречие