Теоремы

Рассмотрим четыре теоремы:

; (1)

; (2)

; (3)

. (4)

Пара теорем, у которых условие одной является заключением второй, а условие второй является заключением первой, называются взаимно обратными друг другу. Так, теоремы (1) и (2), а также (3) и (4) взаимно обратные теоремы. При этом одну из них называют прямой теоремой, а вторую обратной.

Пара теорем, у которых условие и заключение одной является отрицанием соответственно условия и заключения другой, называются взаимно противоположными. Теоремы (1) и (3), а также (2) и (4) взаимно противоположные теоремы.

Пример.

Теорема (1). Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником.

Теорема (2). Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны.

Теорема (3). Если в четырехугольнике диагонали не равны, то четырехугольник не является прямоугольником.

Теорема (4). Если четырехугольник не является прямоугольником, то его диагонали не равны.

Теоремы (1) и (4) являются одновременно ложными, а теоремы (2) и (3) одновременно истинны. Контрпримером к теореме (1) является равнобочная трапеция.

Замечание 1. Прямая и обратная теоремы, вообще говоря, не равносильны, то есть одна из них может быть истинной, а другая ложной.

Замечание 2. Теоремы (1) и (4), а также (2) и (3) всегда равносильны.

Рассмотрим теорему (1): . Множество истинности предиката есть множество . Тогда множество ложности этого предиката C()=. Последнее множество Ø, если . Тогда предикат истинен для всех в том и только в том случае, когда . При этом говорят, что предикат Q(x) логически следует из предиката P(x), и предикат Q(x) называют необходимым условием для предиката P(x), а предикат P(x) – достаточным условием для Q(x).

Утверждение. Две взаимно обратные теоремы (1) и (2) истинные тогда и только тогда, когда .

Пояснение к утверждению. В этом случае из теоремы (1) следует, что условие P(x) является достаточным для Q(x), а из теоремы (2) следует, что условие P(x) является необходимым для Q(x). Таким образом, если истинны теоремы (1) и (2), то условие P(x) является и необходимым, и достаточным для Q(x). Аналогично, в этом случае условие Q(x) является необходимым и достаточным для P(x).

Замечание 1. Вместо логической связки «необходимо и достаточно» можно использовать связки «тогда и только тогда», «если и только если».

Замечание 2. Если истинны теоремы (1) и (2), то истинна теорема .

Доказательство методом от противного проводится по следующей схеме: предполагается, что теорема (1) неверна, то есть существует такой объект x, что условие P(x) истинно, а заключение Q(x) ложно. Если из этих предположений путем логических рассуждений приходят к противоречивому утверждению, то делают вывод о том, что исходное предположение неверно, и верна теорема (1).