Метод математической индукции

Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность одноместных предикатов, зависящих от натуральной переменной. Доказательство того, что одноместный предикат A(n) истинный для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе: предикат A(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие условия:

· A(n) истинен при n=1;

· Для любого из допущения, что A(n) истинно для n=k, вытекает, что оно истинно и для n=k+1.

Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом арифметики и, следовательно, принимается без доказательства. Допущение, что A(n) истинно для n=k называется индуктивным допущением или индуктивным предположением.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: если требуется доказать истинность одноместного предиката A(n) для всех натуральных n, то, во-первых, проверяют истинность высказывания A(1), и, во-вторых, предположив истинность высказывания A(k), пытаются доказать, что A(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предикат A(n) признается истинным для всех значений n.

Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении некоторых геометрических и многих других задач.

Пример.

Доказать равенство: .

Доказательство: Это равенство представляет собой предикат A(n), заданный на множестве натуральных чисел. Докажем истинность A(n) для всех значений n методом математической индукции.

Пусть n=1, A(1) истинно, так как 1²=.

Пусть n=k, и A(k) истинно, то есть верно равенство . Прибавим к обеим частям этого равенства (k+1)², получим , и преобразуем правую часть: =

, а это означает, что высказывание A(k+1) истинно. Согласно принципу математической индукции равенство доказано.