Логика предикатов

Логика предикатов разбивает элементарное высказывание на субъект (подлежащее или дополнение) и предикат (сказуемое или определение). Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании, предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Пример.

«7 – простое число». «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что число 7 обладает свойством быть простым.

Если в примере заменить конкретное число 7 переменной , то получим высказывательную форму «x – простое число». При одних значениях x (напр., x=13, x=17) она дает истинные высказывания, а при других x (напр., x=10, x=18) эта форма дает ложные высказывания.

Замечание. Высказывательная форма определяет функцию одной переменной x, определенную на множестве натуральных чисел N и принимающую значения из множества {1,0}. Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Определение. Одноместным предикатом P(x) называется произвольная функция переменной x, определенная на множестве M и принимающая значения из множества {1,0}. Множество M, на котором определен предикат P(x), называется областью определения предиката. Множество всех элементов , при которых предикат принимает значения «истина» называется множеством истинности предиката.

Обозначение. Множество истинности предиката P(x) обозначается .

Пример.

1) P(x) – «sin x=0», I_P={x: x=πk, kZ};

2) Q(x) – «Диагонали параллелограмма x перпендикулярны», M – множество всех параллелограммов, I_P={x: xмножеству всех ромбов}.

Определение. Предикат P(x), определенный на множестве M, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если I_P=M (I_P=Ø).

Определение. Двухместным предикатом P(x,y) называется функция двух переменных x и y, определенная на множестве и принимающая значения из множества {1,0}.

Пример.

1) P(x,y) – «x=y» – предикат равенства, определенный на множестве R²=R×R;

2) Q(x,y) – «x||y» – прямая x параллельна прямой y, предикат, определенный на множестве всех прямых, лежащих на данной плоскости.

Аналогично определяется n-местный предикат.