Использование таблиц Гаусса для нахождения

матрицы, обратной данной

Определение. Произведением двух матриц и (а именно, матрицы на матрицу ) называется третья матрица , произвольный элемент которой получается по правилу умножения "строки на столбец":

,

то есть он равен сумме произведений соответствующих элементов (имеющих одинаковые порядковые номера) -ой строки матрицы и -ого столбца матрицы .

Из определения непосредственно следует, что умножить матрицу на матрицу можно только в том случае, если число столбцов матрицы (т.е. число элементов в любой ее строке) совпадает с числом строк матрицы (т.е. числом элементов в любом ее столбце).

Таким образом матрицу размера можно умножить на матрицу размера тогда и только тогда, когда . При этом матрица = будет иметь размер , то есть она будет содержать строк и столбцов.

Пример 1. Найдите произведение матриц

и .

Решение.

Матрица имеет размер , а матрица - . Значит, матрица – произведение = существует и имеет размер .

=

=.

Ответ:

.

Заметим, что если и квадратные матрицы, то их произведение существует лишь при совпадении их порядков.

Пример 2. Найдите произведения и , если матрица

, .

Решение.

Ответ:

.

Из примеров 1 и 2 следует, что произведение матриц не обладает (вообще говоря) переместительным свойством. В примере 1 произведение матрицы на матрицу просто не существует, а в примере 2, хотя и существует, но . Естественно две матрицы и считать равными, если они одного размера и при любом и любом .

Определение. Квадратную матрицу порядка называют обратной матрицей для квадратной матрицы А порядка и обозначают , если , где - единичная матрица порядка .

Можно доказать, что для получения обратной матрицы для данной квадратной матрицы А достаточно найти (единственным образом) ее элементов как решений систем линейных уравнений с одной и той же матрицей А, но с различными столбцами свободных членов, каждый из которых поочередно равен одному из столбцов единичной матрицы - -ого порядка.

Такие системы можно решать параллельно в одной таблице Гаусса, записывая в нее не один столбец свободных членов , а упорядоченных единичных столбцов "длины ":

.

Продемонстрируем такие расчеты на примере.

Пример 3. Найдите матрицу , обратную матрице

.

Решение.

Таблица 1

№ итерации	i	Базис				Свободные члены
Исходная система	1		2	3	4	1	0	0
	2		2	6	8	0	1	0
	3		2	6	12	0	0	1
I	1		1		2		0	0
	2		0	3	4	-1	1	0
	3		0	3	8	-1	0	1
II	1		1	0	0	1	-	0
	2		0	1		-		0
	3		0	0	4	0	-1	1
III	1		1	0	0	1	-	0
	2		0	1	0	-		-
	3		0	0	1	0	-

После трех итераций получили в левой части таблицы Гаусса 1 на месте матрицы единичную матрицу ( - единичную матрицу третьего порядка), а в правой части обратную матрицу:

Приведя (для удобства вычислений) матрицу к "целому" виду

непосредственным умножением на можно убедиться в правильности проведенных расчетов:

.

Ответ:

Пример 4. Найдите обратную матрицу для матрицы

Решение.

Таблица 2

№ итерации	i	Базис				Свободные члены
Исходная система	1		3	2	1	1	0	0
	2		4	5	2	0	1	0
	3		2	1	4	0	0	1
I	1		3	2	1	1	0	0
	2		-2	1	0	-2	1	0
	3		-10	-7	0	-4	0	1
II	1		7	0	1	5	-2	0
	2		-2	1	0	-2	1	0
	3		-24	0	0	-18	7	1
III	1		0	0	1	-
	2		0	1	0	-		-
	3		1	0	0		-	-

После трех итераций на месте матрицы в левой части таблицы получили три единичных вектора, не составляющих в данном порядке единичную матрицу. Переставляя первую и третью строки таблицы III итерации, получим в ее левой части единичную матрицу , а в правой части обратную матрицу :

III ^'	1		1	0	0		-	-
	2		0	1	0	-		-
	3		0	0	1	-

Непосредственным умножением на убеждаемся в правильности проведенных расчетов:

.

Ответ:

.

Пример 5. Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение.

Таблица 3

№ итерации	i	Базис				Свободные члены
Исходная система	1		3	0	5	1	0	0
	2		1	-2	1	0	1	0
	3		6	-6	8	0	0	1
I	1		0	6	2	1	-3	0
	2		1	-2	1	0	1	0
	3		0	6	2	0	-6	1
II	1		0	3	1		-	0
	2		1	-5	0	-		0
	3		0	0	0	-1	-3	1

После II итерации мы не имеем возможности ввести в базис переменную , так как в единственной неиспользованной третьей строке коэффициент при . Более того в третьей строке все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а все свободные члены отличны от нуля. Это означает (как мы знаем) несовместность всех трех соответствующих систем уравнений:

,

,

.

Следовательно, для данной матрицы третьего порядка невозможно получить обратную матрицу, т.е. такую матрицу третьего порядка , чтобы . Таким образом, данная матрица не имеет обратной.

Ответ: матрица не имеет обратной.

Взглянем на эту ситуацию с другой стороны. Элементарными преобразованиями строк матрица приведена к эквивалентному виду

~ ~.

Так как ступенчатая матрица, то ее ранг, а следовательно, и ранг матрицы , равен 2 (числу строк матрицы ).

Заметим, что ранги матриц в примерах 3 и 4 равны 3, т.е. равны порядкам матриц.

Назовем квадратную матрицу вырожденной, если ее ранг меньше ее порядка, и невырожденной в противном случае (если ранг матрицы равен ее порядку).

Таким образом, матрицы из примеров 3 и 4 невырожденные, а матрица в примере 5 – вырожденная.

Вспоминая теорему Кронекера-Капелли, можем утверждать, что квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда она невырожденная.