Округление чисел

Определение 1. Округлением числа до n знаков называется сохранение в этом числе n первых значащих цифр.

Определение 2. Простым округлением называется округление числа, при котором последняя сохраняемая цифра остается без изменения.

Определение 3. Механическим округлением называется округление числа, при котором последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Простое и механическое округления применяются при ручных вычислениях, не требующих большой точности. При использовании техники оно применяется, если число таково, что оно не умещается в разрядную сетку в силу ее ограниченности.

Пример 1. При округлении чисел 541,783 и 541,789 до 5 знаков простым округлением получим 541,78, механическим – 541,79.

Определение 4. Разность между округляемым и округленным числом называется погрешностью округления.

Определение 5. Модуль разности между округляемым и округленным числом называется абсолютной погрешностью округления.

Пример 2. Абсолютная погрешность округления чисел 541,783 и 541,789 до 5 знаков простым округлением будет равна и соответственно, механическим - и соответственно.

Замечание 1. Если провести простое или механическое округление точного числа, то все его сохраненные цифры будут верны в широком смысле.

В большинстве случаев, округление стараются провести так, чтобы его абсолютная погрешность была минимальной. (Как видно из приведенного выше примера для числа 541,783 лучше применить простое округление, для числа 541,789 - механическое.) В связи с этим разработаны следующие правила округления.

Правила округления.

1. Если первая из отбрасываемых цифр < 5, то последняя из сохраняемых цифр остается без изменения.

2. Если первая из отбрасываемых цифр > 5, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу.

3. Если первая из отбрасываемых цифр = 5 и за ней следуют отличные от нуля цифры, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу.

4. Если первая из отбрасываемых цифр = 5 и за ней следуют лишь нули, то последняя из сохраняемых цифр остается без изменения, если она - четная, увеличивается на единицу, если она – нечетная.

Пример 3. При округлении до 3 знаков по правилам ; ; ; ; .

Очевидно, что если правила 1-3 нарушить, то абсолютная погрешность округления возрастет, если нарушить правило 4 – останется без изменения. Однако правило 4 обусловлено следующими соображениями:

1) если в сумме встречаются слагаемые с четными и нечетными цифрами в разряде, до которого поводится округление, то погрешности округления этих слагаемых компенсируют друг друга (например, сумма чисел из предыдущего примера 1,785 и 1,775до и после округления равна 3,56);

2) число, оканчивающееся четной цифрой, делится на без увеличения количества разрядов.

Замечание 2. Если провести округление точного числа по правилам, то все его сохраненные цифры будут верны в узком смысле.