Погрешности. Источники погрешностей

Определение 1. Истинное численное значение рассматриваемой величины называется точным числом и обозначается .

Определение2. Приближенное численное значение рассматриваемой величины называется приближенным числом и обозначается .

Определение 3. Разность между точным и приближенным числами называется погрешностью приближенного числа.

Пример 1. Если , , то - погрешность приближенного числа 1,5.

Пример 2 Если , , то - погрешность приближенного числа 2,4.

Погрешность ответа при решении задачи возникает, как правило, в результате трех причин.

Первая причина – это неточность исходных данных. Действительно, нельзя точно измерить ширину дома, вес груза, т.к, с одной стороны, у измерительных приборов ограничена степень точности (например, весы не чувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г), с другой стороны, сам измеритель может допустить ошибку.

Определение 4. Погрешность, которую содержат исходные данные, называется неустранимой погрешностью.

Вторая причина – сам численный метод является источником погрешностей. Это связано, например, с заменой при вычислениях определенного интеграла – интегральной суммой, производной – отношением приращения функции к приращению аргумента, функции – многочленом, ряда – частичной суммой, бесконечного итерационного процесса – конечным и т.д.

Определение 5. Погрешность, которую дает численный метод, называется погрешностью метода.

Третья причина – в результате вычислений исходные, промежуточные и окончательные результаты приходится округлять. Например, при ручных вычислениях невозможно оперировать с бесконечными десятичными дробями или с конечными, у которых большое количество разрядов. Разрядная сетка вычислительных машин также ограничена. Кроме этого, при работе на компьютере происходит перевод чисел из одной системы счисления в другую, что также приводит к погрешностям.

Определение 6. Погрешность, возникающая в результате округления чисел или перевода их из одной системы счисления в другую, называется вычислительной погрешностью.

Абсолютная и предельная абсолютная погрешности приближенного числа

Как видно из предыдущих примеров, погрешность приближенного числа может быть как положительной, так и отрицательной. Но, как правило, знак погрешности вычислителя не интересует. Поэтому имеет место следующее понятие.

Определение 7. Модуль разности между точным и приближенным числами называется абсолютной погрешностью приближенного числа и обозначается , т.е.

. (1)

При решении задач возможны два случая.

Первый случай. Точное число известно. Тогда легко найти по определению.

Второй случай. Точное число неизвестно. Тогда по определению найти нельзя. В этом случае пользуются следующим понятием.

Определение 8. Число, , называется предельной абсолютной погрешностью приближенного числа и обозначается , т.е.

. (2)

Из неравенства (2) следует, что - бесконечное множество. На практике стараются взять как можно меньше или же, если в большой точности нет необходимости, оптимальной для конкретной задачи.

Из условий (1), (2) получаем:

;

;

. (3)

Неравенство (3) сокращенно записывают так:

. (4)