Численные методы

Задачи, на которые ответ нужно дать в виде числа, как известно, решаются с помощью математических методов. На сегодняшний день существует три основных группы таких методов: аналитические, графические и численные.

При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. Например, если задача состоит в решении простейших алгебраических, тригонометрических, дифференциальных и т.д. уравнений, то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели.

Преимущество аналитических методов: в результате применения аналитических методов за небольшой отрезок сразу получается точный ответ.

Недостаток аналитических методов: аналитические методы применимы лишь к небольшому числу, как правило, не очень сложных по своей структуре задач. Так, например, до сих пор не удалось решить в общем виде уравнение пятой степени.

Основная идея графических методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений. Например, если уравнение не удается решить аналитически, то строят график функции и абсциссу точки пересечения его с осью берут за приближенное значение корня.

Недостаток графических методов: в результате применения графических методов ответ получается с погрешностью, недопустимой в силу своей большой величины.

Основным инструментом для решения сложных математических моделей и задач в настоящее время являются численные методы. Они сводят решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами и дают результат в виде числового значения с погрешностью, приемлемой для данной задачи.

Численные методы разработаны давно. Однако при вычислениях вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач. С появлением компьютеров, которые за короткое время могут выполнить миллиарды операций, начался период бурного развития численных методов и внедрения их в практику.